2008-上海卷文-19 解-指数分段函数恒成立

本题导读

考查指数分段函数与恒成立。$x<0$ 段恒零；$f(x)=2$ 只能在 $x⩾0$ 解；第二问分离出 $m⩾-(2^{2t}+1)$，右端最大 $-5$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=2^x-\frac{1}{2^{|x|}}$.

(1)若 $f(x)=2$，求 $x$ 的值；

(2)若 $2^{t}f(2^t)+mf(t)⩾0$ 对于 $t\in [1,2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 分段：$x<0$ 时 $|x|=-x$，$2^{-|x|}=2^x$，$f(x)=0$；$x⩾0$ 时 $f(x)=2^x-2^{-x}$。
2. (1)$x<0$ 时 $f(x)=0\ne 2$；设 $u=2^x>0$，$u-\frac{1}{u}=2$，$u^2-2u-1=0$，$u=1+\sqrt{2}$，$x={\log }_2(1+\sqrt{2})$。
3. (2)$t\in [1,2]$ 时 $f(t)>0$；令 $u=2^t\in [2,4]$：$f(t)=\frac{u^2-1}{u}$，$f(2t)=\frac{u^4-1}{u^2}$。
4. $\frac{2^{t}f(2^t)}{f(t)}=u\cdot \frac{(u^2-1)(u^2+1)}{u^2}\cdot \frac{u}{u^2-1}=u^2+1=2^{2t}+1$。
5. 原不等式 $⟺m⩾-(2^{2t}+1)$ 对一切 $t\in [1,2]$ 成立，右端最大值为 $-(4+1)=-5$，故 $m⩾-5$。

✅【答案】

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(1)$x={\log }_2(1+\sqrt{2})$；(2)$m$ 的取值范围为 $[-5,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=2^x-\frac{1}{2^{|x|}}$，分段讨论： 当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，$\frac{1}{2^{|x|}}=2^x$，所以 $f(x)=2^x-2^x=0$； 当 $x⩾0$ 时，$f(x)=2^x-\frac{1}{2^x}$. (1)当 $x<0$ 时 $f(x)=0$，不可能等于 $2$； 当 $x⩾0$ 时，令 $u=2^x>0$，$f(x)=u-\frac{1}{u}=2$，即 $u^2-2u-1=0$，解得 $u=1+\sqrt{2}$ 或 $u=1-\sqrt{2}$（舍去负值）. 所以 $x={\log }_2(1+\sqrt{2})$. (2)当 $t\in [1,2]$ 时，$t>0$，$f(t)=2^t-2^{-t}>0$. 令 $u=2^t$，则 $u\in [2,4]$，且 $f(t)=\frac{u^2-1}{u},f(2t)=2^{2t}-2^{-2t}=\frac{(u^2-1)(u^2+1)}{u^2}.$ 于是 $\frac{2^{t}f(2^t)}{f(t)}=u\cdot \frac{(u^2-1)(u^2+1)}{u^2}\cdot \frac{u}{u^2-1}=u^2+1=2^{2t}+1.$ 由 $f(t)>0$，原不等式等价于 $m⩾-\left(2^{2t}+1\right).$ 当 $t\in [1,2]$ 时，$2^{2t}\in [4,16]$，右端的最大值为 $-(4+1)=-5$. 所以不等式恒成立的充要条件是 $m⩾-5$，即 $m$ 的取值范围为 $[-5,+\infty )$.（经检验 $m=-5$ 时等号在 $t=1$ 处成立，符合题意.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型分段函数与恒成立

核心方法：$f(t)>0$，$\frac{2^{t}f(2^t)}{f(t)}=2^{2t}+1$，$m⩾-5$

避坑指南：$2^{-|x|}$ 在 $x<0$ 时恰为 $2^x$——负半轴函数恒零是本题第一道弯；第二问除以正数 $f(t)$ 分离参数，右端最值定 $m$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“分离参数 + 指数化简”是恒成立主干道，2009 天津文第 9 题、2010 天津文第 16 题同型。

结论推广：$2^x-\frac{1}{2^x}=\frac{4^x-1}{2^x}$；$2^t\cdot 2^{2t}=2^{3t}$ 指数合并。

方法推广：$x<0$ 段 $f(x)=0$ 意味着方程与不等式都只在 $x⩾0$ 有戏；$m⩾-(2^{2t}+1)$ 的右端在 $t=1$ 处最大 $-5$——别把”最大”错成 $t=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2010-江苏卷-11 填-分段函数不等式
• 2010-天津卷文-16 填-恒成立求参