2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(0,0)$、$(0,1)$、$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$z=x+2y$ 在 $(0,0)$ 处最小为 $0$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩾0,\\ x+y⩾0,\\ x⩽0,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最小值是()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 画边界 $x-y+1=0$、$x+y=0$、$x=0$，可行域在 $x⩽0$ 一侧的三角形。
2. 顶点：$x=0$ 与 $x+y=0$ 交 $(0,0)$；$x=0$ 与 $x-y+1=0$ 交 $(0,1)$；$x-y+1=0$ 与 $x+y=0$ 交 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
3. 逐点代入 $z=x+2y$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线围成的可行域顶点为 $(0,0),(0,1),\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$ 逐点计算 $z=x+2y$： $(0,0)$：$z=0$；$(0,1)$：$z=2$；$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$：$z=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. 所以 $z_{\min }=0$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最小值

核心方法：顶点 $(0,0)$ 处 $z=x+2y=0$ 最小

避坑指南：可行域是 $x⩽0$ 一侧的三角形；目标函数 $z=x+2y$ 中 $y$ 系数为正，直线族往左下平移 $z$ 变小；逐顶点代入最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是北京卷高频小题，2009 北京文第 11 题、2010 天津文第 2 题同型。

结论推广：顶点 $=$ 边界线两两交点中满足约束者；最值在顶点处取到。

方法推广：先画三条边界定区域，再列顶点逐一代入；含原点的顶点常使 $z$ 取到 $0$，别想当然认为最小值为负。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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