2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布

本题导读

(1)$P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=0.5\times 0.4+0.5\times 0.6=0.5$；(2)$P(\bar{A}\cap \bar{B})=0.2$，$P(X⩾2)={\mathrm{C}}_3^2(0.2{)}^2(0.8)+(0.2{)}^3=0.104$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也相互独立.

(1)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(2)求进入该商场的 3 位顾客中，至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)“买甲不买乙”与”买乙不买甲”互斥，各自用独立乘法. (2)一位顾客两种都不买的概率 $0.5\times 0.4=0.2$；3 人独立重复，二项分布算”恰好 2 人”与”3 人”两支相加.

✅【答案】

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(1)$0.5$；(2)$0.104$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设顾客购买甲、乙两种商品分别为事件 $A$，$B$．因为 $A$，$B$ 相互独立，所以购买甲、乙两种商品中的一种的概率为 $P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=0.5\times 0.4+0.5\times 0.6=0.5$. (2)一位顾客既未购买甲种商品也未购买乙种商品的概率为 $P(\bar{A}\cap \bar{B})=0.5\times 0.4=0.2$．设进入商场的 3 位顾客中既未购买甲种商品也未购买乙种商品的人数为 $X$，则 $X\sim B(3,0.2)$．因此至少有 2 位顾客既未购买甲种商品也未购买乙种商品的概率为$P(X⩾2)={\mathrm{C}}_3^2(0.2{)}^2(0.8)+(0.2{)}^3=0.104$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与二项分布

核心方法：“恰一种”两互斥支相加；“至少 2 人”二项分布两支相加

避坑指南：“都不买”概率是 $(1-0.5)(1-0.6)=0.2$，别用 $0.5\times 0.6$；$P(X⩾2)={\mathrm{C}}_3^2(0.2{)}^2(0.8)+(0.2{)}^3$，两个组合支都别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件 + 二项分布，概率解答题的标准骨架

结论推广：$X\sim B(n,p)$ 时 $P(X⩾2)=1-P(0)-P(1)$ 也常用

方法推广：“都不买”是补事件乘积；“至少”问题核对互补法是否更快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

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