2008-大纲卷I文-16 填-翻折点面距离

本题导读

考查翻折与点面距离。$A$ 到 $BD$ 的垂距 $AM=AB\sin 30^{\circ }=1$，折起后 $A$ 到面 $BCD$ 的距离 $=AM\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知菱形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$\angle A=120^{\circ }$，沿对角线 $BD$ 将 $△ABD$ 折起，使二面角 $A-BD-C$ 为 $120^{\circ }$，则点 $A$ 到 $△BCD$ 所在平面的距离等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 菱形中 $\angle B=\angle D=60^{\circ }$（$BD$ 为对角线），$△ABD$ 与 $△BCD$ 都是顶角 $120^{\circ }$ 的等腰三角形。
2. $A$ 到 $BD$ 的垂距 $AM=AB\cdot \sin \angle ABD=2\sin 30^{\circ }=1$；同理 $C$ 到 $BD$ 的垂距 $CM=1$。
3. 折起后 $AM\perp BD$、$CM\perp BD$ 仍成立，$\angle AMC$ 与二面角相关，$A$ 到面 $BCD$ 的距离 $=AM\cdot \sin 120^{\circ }$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

菱形 $ABCD$ 中 $AB=AD=2$，$\angle A=120^{\circ }$，故 $\angle ABD=\angle ADB=30^{\circ }$. 设 $A$ 在 $BD$ 上的垂足为 $M$，则 $AM=AB\cdot \sin 30^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1.$ 同理，$△BCD$ 中 $C$ 到 $BD$ 的垂距 $CM=1$. 折起后，$AM\perp BD$、$CM\perp BD$ 仍然成立，且 $A$、$C$ 在 $BD$ 两侧，二面角 $A-BD-C$ 的平面角与 $\angle AMC$ 相关：由 $MA=MC=1$ 且二面角为 $120^{\circ }$，点 $A$ 到平面 $BCD$ 的距离等于 $AM$ 在垂直于平面 $BCD$ 方向上的分量 $d=AM\cdot \sin 120^{\circ }=1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折中的点面距离

核心方法：$AM=1$，$d=AM\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

避坑指南：翻折不变量：$A$ 到折痕 $BD$ 的垂距 $AM$、垂足 $M$ 位置不变；$A$ 到面 $BCD$ 的距离 $=AM\sin \theta$（$\theta$ 为二面角）；菱形对角线平分内角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：翻折问题抓”不变量”是通法，2010 浙江文第 20 题、2011 江西文第 18 题同型。

结论推广：$d=h\sin \theta$（$h$ 为到棱的垂距）；菱形对角线平分内角，$\angle ABD=30^{\circ }$。

方法推广：先在平面图中算出 $AM$，翻折后 $AM\perp BD$ 仍成立；点面距离直接用 $AM\sin \theta$，不必建系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2010-浙江卷文-20 解-翻折线面平行与线面角
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
• 2009-大纲卷I文-11 单-二面角距离最值