2008-大纲卷I理-20 解-古典概型

本题导读

本题考查概率与统计中的古典概型及离散型随机变量的分布列与数学期望。解题核心在于准确分析两种方案下化验次数的概率分布，并利用独立性简化计数。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面是两种化验方案: 方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止. 方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物在这 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验.

(1) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;

(2) $\xi$ 表示依方案乙所需化验次数, 求 $\xi$ 的期望.

🔍【思路分析】

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1. 分析方案甲的化验次数 $X$ 的取值及对应的古典概型概率，写出其分布列。
2. 分析方案乙的化验次数 $\xi$ 的取值情况（混合化验阳性或阴性后的后续化验步数），写出 $\xi$ 的分布列。
3. 判定 $X$ 与 $\xi$ 的独立性，利用独立事件概率公式求出 $P(X\ge \xi )$，并计算 $\xi$ 的期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 5 只动物中唯一的患病动物为 $S$。 设方案甲所需的化验次数为 $X$，则 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4。 当第 1, 2, 3 只动物为 $S$ 时，对应的化验次数 $X$ 分别为 1, 2, 3；若前 3 只均正常，则第 4 只化验后即可确定（若第 4 只为阳性则其患病，若为阴性则第 5 只患病），故第 4 只或第 5 只为 $S$ 时化验次数均为 4。 因此 $X$ 的分布列为： $P(X=1)=\frac{1}{5}$，$P(X=2)=\frac{1}{5}$，$P(X=3)=\frac{1}{5}$，$P(X=4)=\frac{2}{5}$。

设方案乙所需的化验次数为 $\xi$。方案乙首先任取 3 只混合化验（计 1 次）。 ① 若混合结果呈阳性（概率为 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$），说明 $S$ 在这 3 只中。然后再逐个化验这 3 只：

• 若第 1 只为 $S$（概率为 $\frac{1}{3}$），需再化验 1 次，共 $1+1=2$ 次；
• 若第 2 或第 3 只为 $S$（概率为 $\frac{2}{3}$），需再化验 2 次，共 $1+2=3$ 次。 ② 若混合结果呈阴性（概率为 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$），说明 $S$ 在剩下的 2 只中。任取其中 1 只化验（需再化验 1 次），无论结果如何均能确定，共 $1+1=2$ 次。

由于方案乙是随机盲选 3 只，其化验次数 $\xi$ 的概率分布对任意确定的患病动物位置均相同，故 $X$ 与 $\xi$ 相互独立。 $\xi$ 的可能取值为 2, 3，其分布列为： $P(\xi =2)=\frac{3}{5}\times \frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ $P(\xi =3)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$

因此，方案甲所需化验次数不少于方案乙的概率为 $P(X\ge \xi )$： $P(X\ge \xi )=P(\xi =2)P(X\ge 2)+P(\xi =3)P(X\ge 3)$ 其中 $P(X\ge 2)=1-P(X=1)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$， $P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。 $P(X\ge \xi )=\frac{3}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{12}{25}+\frac{6}{25}=\frac{18}{25}$

(2) 由(1)中可知 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3
$P$	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$

其数学期望为： $E\xi =2\times \frac{3}{5}+3\times \frac{2}{5}=\frac{6+6}{5}=\frac{12}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列与数学期望的求解，独立事件的概率性质。
2. 核心方法：全概率分解法与独立性代入法。
3. 避坑指南：方案甲中容易误认为第 5 只患病需要化验 5 次。实际上 5 只中只有 1 只生病，排除前 4 只后第 5 只无需化验即可自动确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于经典的“血液分组化验问题”（Group Testing），是近代应用数学、算法设计和信息论中的经典最优化模型。
2. 结论推广：对于 $N$ 只动物中有 1 只患病，若分成大小为 $k$ 的组进行混合化验，其总期望化验次数可以写为关于 $k$ 的函数，通过求最值可得到最佳分组大小。

🔗【关联脉络】

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