2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立

本题导读

考查导数与极值最值。(1)$f^{\prime }(2)=12a-12=0$ 得 $a=1$；(2)$g(x)=x[a{x}^2+(3a-3)x-6]$，$g(0)=0$，需括号内二次式在 $(0,2]$ 上非正，讨论得 $a⩽\frac{6}{5}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=a{x}^3-3x^2$.

(1)若 $x=2$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点，求 $a$ 的值；

(2)若函数 $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$，$x\in [0,2]$，在 $x=0$ 处取得最大值，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1)极值点处导数为零：$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x$，$f^{\prime }(2)=12a-12=0$。
2. (2)$g(x)=a{x}^3+(3a-3)x^2-6x=x\left[a{x}^2+(3a-3)x-6\right]$，$g(0)=0$。
3. 在 $x=0$ 取最大值 $\iff$ 对 $x\in (0,2]$，$a{x}^2+(3a-3)x-6⩽0$。
4. 分类：$a⩽0$ 时恒成立；$a>0$ 时二次式在 $x=2$ 处最大，只需 $4a+2(3a-3)-6⩽0$。

✅【答案】

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(1)$a=1$；(2)$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,\frac{6}{5}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x$. 由 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，得 $f^{\prime }(2)=0$，即 $12a-12=0$，故 $a=1$. (2)$g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)=a{x}^3-3x^2+3a{x}^2-6x=a{x}^3+(3a-3)x^2-6x$. $g(x)=x\left[a{x}^2+(3a-3)x-6\right].$ $g(x)$ 在 $[0,2]$ 上于 $x=0$ 处取得最大值，等价于对任意 $x\in (0,2]$， $h(x)=a{x}^2+(3a-3)x-6⩽0.$ 当 $a⩽0$ 时，$h(x)=a{x}^2+(3a-3)x-6$ 中 $a{x}^2⩽0$，$(3a-3)x<0$，$-6<0$，故 $h(x)<0$ 恒成立，符合题意. 当 $a>0$ 时，$h(x)$ 开口向上，在 $[0,2]$ 上的最大值在端点取得：$h(0)=-6<0$，故只需 $h(2)=4a+6a-6-6=10a-12⩽0\Rightarrow a⩽\frac{6}{5}.$ 即 $0<a⩽\frac{6}{5}$. 综上，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,\frac{6}{5}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与最值恒成立

核心方法：$f^{\prime }(2)=12a-12=0$ 得 $a=1$；$h(x)⩽0$ 于 $(0,2]$ 得 $a⩽\frac{6}{5}$

避坑指南：$g(x)=x\left[a{x}^2+(3a-3)x-6\right]$，$g(0)=0$；“在 $x=0$ 取最大”$⟺$ 右侧函数值都不超过 $0$；$a>0$ 时二次式开口向上，最大值在 $x=2$ 端点取得——转化为端点不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“最大值在端点”型恒成立是导数压轴常见结构，2009 大纲Ⅱ文第 21 题、2009 新课标Ⅰ文第 21 题同型。

结论推广：极值点 $⟺f^{\prime }(x_0)=0$（还需两侧变号）；$xh(x)⩽0$ 于 $(0,2]⟺h(x)⩽0$；闭区间上开口向上的二次式最大值在端点。

方法推广：提出公因式 $x$ 是破题关键（$x=0$ 处 $g=0$ 自动成立）；分 $a⩽0$ 与 $a>0$ 两段，$a>0$ 时抓端点 $x=2$；别忘验证 $a=1$ 时(1)的条件只是第一问的前提，两问相互独立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值