2008-天津卷文-14 填-向量减法与模

本题导读

考查向量坐标运算与模。$a\cdot b=6$，$c=a-6b=(8,-8)$，$|c|=8\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知平面向量 $a=(2,4)$，$b=(-1,2)$，若 $c=a-(a\cdot b)b$，则 $|c|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $a\cdot b=2\times (-1)+4\times 2=6$。
2. $c=a-6b=(2,4)-6(-1,2)=(2+6,4-12)=(8,-8)$。
3. $|c|=\sqrt{8^2+(-8{)}^2}=8\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$8\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$a\cdot b=2\times (-1)+4\times 2=6$. 所以 $c=a-(a\cdot b)b=(2,4)-6(-1,2)=(2+6,4-12)=(8,-8).$ 所以 $|c|=\sqrt{8^2+(-8{)}^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}.$ 故答案为 $8\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的数乘减法与模

核心方法：$a\cdot b=6$，$c=a-6b=(8,-8)$，$|c|=8\sqrt{2}$

避坑指南：数量积是纯数，数乘后与 $a$ 作差得坐标向量；模即坐标平方和开方；本题 $c$ 的两分量互为相反数，模为 $8\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量坐标运算求模是填空高频题，2009 大纲Ⅱ文第 6 题、2009 江苏卷第 2 题同型。

结论推广：$a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2$；$|c|=\sqrt{x^2+y^2}$。

方法推广：$c=a-(a\cdot b)b$ 中 $(a\cdot b)b$ 是”数乘向量”，先算数量积再逐分量相乘；负号别丢。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算
• 2009-浙江卷文-05 单-向量坐标运算