2008-安徽卷文-16 填-球面距离

本题导读

本题求球面上 $B$、$C$ 两点的球面距离：先证 $AD$ 中点就是球心、半径为 $4$，再由弦 $BC=4$ 求球心角，弧长即球面距离。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 已知 $A$，$B$，$C$，$D$ 在同一个球面上，$AB\perp$ 平面 $BCD$，$BC\perp CD$，若 $AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，$AD=8$，则 $B$，$C$ 两点间的球面距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $AB\perp$ 平面 $BCD$ 得 $AB\perp BD$、$AB\perp BC$；由 $BC\perp CD$ 与 $AB\perp CD$ 得 $CD\perp$ 平面 $ABC$。
2. 在 $△ABC$ 中 $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=4$；设 $AD$ 中点为 $O_1$，验证 $O_{1}A=O_{1}B=O_{1}C=O_{1}D=4$，即球心为 $AD$ 中点、半径 $4$。
3. 弦 $BC=4$，$r=4$，球心角 $\theta =2\arcsin \frac{4}{8}=\frac{\pi }{3}$，球面距离 $=r\theta$。

✅【答案】

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$\frac{4\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $AB\perp$ 平面 $BCD$，得 $AB\perp BC$，故 $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{52-36}=4$。 设 $AD$ 的中点为 $O_1$。在直角三角形 $ABD$ 中（$AB\perp BD$），$O_{1}A=O_{1}B=O_{1}D=\frac{AD}{2}=4$。 又 $AB\perp$ 平面 $BCD$，$BC\perp CD$，故 $CD\perp$ 平面 $ABC$，从而 $CD\perp AC$，三角形 $ACD$ 是直角三角形，斜边 $AD$ 的中点 $O_1$ 满足 $O_{1}C=\frac{AD}{2}=4$。 所以 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点到 $O_1$ 的距离都等于 $4$，即球心为 $AD$ 中点，半径 $r=4$。 在弦 $BC$ 与球心构成的三角形中，$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{BC}{2r}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，所以球心角 $\theta =\frac{\pi }{3}$。 故 $B$，$C$ 两点间的球面距离为 $r\theta =4\times \frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离与外接球

核心方法：先证球心（直角三角形斜边中点）再求球心角

避坑指南：$AB\perp$ 平面 $BCD$ 加 $BC\perp CD$ 可推出两对直角三角形，斜边都是 $AD$；球心角由 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{BC}{2r}$ 求弦对应的圆心角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 四川文第 9 题、2010 四川文第 12 题同考球面距离。

结论推广：球面距离 = 半径 $\times$ 球心角，球心角由弦长与半径确定。

方法推广：直角四面体外接球心常在”斜棱的中点”，先证等距再谈距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2010-四川卷文-12 单-球面距离
• 2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角
• 2010-江西卷文-16 填-长方体外接球球面距离