2009-上海卷理-11 填-导数

本题导读

本题考查函数与不等式恒成立问题、正弦函数的图象与性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 当 $0\le x\le 1$，不等式 $\sin \frac{\pi x}{2}\ge kx$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 特殊点检验：当 $x=0$ 时，不等式变为 $0\ge 0$，恒成立，此时 $k$ 可取任意实数。

2. 分离参数：当 $0<x\le 1$ 时，不等式两边同除以 $x$，转化为 $k\le \frac{\sin \frac{\pi x}{2}}{x}$ 恒成立，即 $k$ 小于或等于该函数在区间内的最小值。

3. 求导分析最值：求出新函数的导数，判定其在区间内的单调性，代入端点求出最小值。

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$(-\infty ,1]$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x=0$ 时，$\sin 0\ge k\times 0⟹0\ge 0$ 恒成立。 当 $0<x\le 1$ 时，不等式等价于 $k\le \frac{\sin \frac{\pi x}{2}}{x}$。 设 $g(x)=\frac{\sin \frac{\pi x}{2}}{x}(0<x\le 1)$，下面研究其单调性。 求导得： $g^{\prime }(x)=\frac{\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}\cdot x-\sin \frac{\pi x}{2}}{x^2}$ 设分子为 $h(x)=\frac{\pi }{2}x\cos \frac{\pi x}{2}-\sin \frac{\pi x}{2}$，对 $h(x)$ 求导得： $h^{\prime }(x)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}-\frac{{\pi }^2}{4}x\sin \frac{\pi x}{2}-\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}=-\frac{{\pi }^2}{4}x\sin \frac{\pi x}{2}$ 因为 $0<x\le 1$，所以 $\sin \frac{\pi x}{2}>0$，从而 $h^{\prime }(x)<0$。 所以 $h(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，则 $h(x)<h(0)=0$。 由于分子 $h(x)<0$，分母 $x^2>0$，故 $g^{\prime }(x)<0$。 因此，$g(x)$ 在 $(0,1]$ 上是严格单调递减函数。 所以，当 $x=1$ 时，$g(x)$ 取得最小值： $g(x{)}_{\min }=g(1)=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{1}=1$ 要使 $k\le g(x)$ 恒成立，必有 $k\le g(x{)}_{\min }=1$。 综上所述，$k$ 的取值范围是 $(-\infty ,1]$。 故填 $(-\infty ,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分离参数法处理恒成立问题；通过“二次求导”锁定复杂分子结构的正负号。

2. 核心方法：将不等式转化为 $k\le f(x{)}_{\min }$ 模型。另外，本题也可采用数形结合法：在 $[0,1]$ 上，曲线 $y=\sin \frac{\pi x}{2}$ 是下凹的（割线斜率随 $x$ 增大而减小），故过原点的直线 $y=kx$ 要想完全在曲线下方，其斜率 $k$ 只要小于或等于过两端点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的割线斜率 $k_{\text{割}}=\frac{1-0}{1-0}=1$ 即可。

3. 避坑指南：注意在除以 $x$ 时要对 $x=0$ 进行单独分离讨论，防止因分母为 $0$ 导致逻辑漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是一道非常优美的函数凸性性质题，借助正弦函数在第一象限的凹折性，考查切线与割线斜率边界。

2. 结论推广: 一般地，对于在 $[0,a]$ 上满足 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 的上凸函数，不等式 $f(x)\ge kx$ 恒成立的充要条件为 $k\le \frac{f(a)}{a}$。本题直接套用此结论即可秒杀：$k\le \frac{\sin (\pi /2)}{1}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-山东卷理-06 单-正弦型函数