2009-上海卷理-12 填-等差数列

本题导读

本题考查奇函数的图象与性质、等差数列的对称性（等差中项），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$．项数为 27 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，且公差 $d\ne 0$．若 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_{27})=0$，则当 $k=$ $\underline{}$时，$f(a_k)=0$．

🔍【思路分析】

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1. 分析函数奇偶性：易证 $f(x)=\sin x+\tan x$ 是在其定义域内的标准奇函数，满足 $f(-x)=-f(x)$。

2. 分析等差数列对称性：由项数为 27（奇数项）可知，整个数列关于正中间的第 14 项 $a_{14}$ 呈对称分布，即 $a_i+a_{28-i}=2a_{14}$。

3. 联立推导结论：严格单调的奇函数在一组对称点上的函数值之和为 0，意味着其对称中心必须落在坐标原点，即 $a_{14}=0$，从而锁定对应下标。

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$14$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(-x)=\sin (-x)+\tan (-x)=-\sin x-\tan x=-f(x)$， 所以函数 $f(x)$ 是定义域 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上的奇函数。

已知 $\{a_n\}$ 是项数为 27 的等差数列，根据等差中项的性质，有： $a_1+a_{27}=a_2+a_{26}=\cdots =a_i+a_{28-i}=2a_{14}$ 把函数求和式进行对称两两分组配对： ${\sum }_{i=1}^{27}f(a_i)=[f(a_1)+f(a_{27})]+[f(a_2)+f(a_{26})]+\cdots +[f(a_{13})+f(a_{15})]+f(a_{14})=0$ 由于公差 $d\ne 0$，且 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上是严格单调递增的奇函数， 要使得对称项的函数值两两相加恒为 0，自变量必须关于 0 对称，即 $a_i=-a_{28-i}$， 从而可得其对称中心项： $a_{14}=0$ 代入函数计算得：$f(a_{14})=f(0)=\sin 0+\tan 0=0$。 对比题目条件 $f(a_k)=0$，可知 $k=14$。 故填 $14$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数关于原点中心对称的性质 $f(-x)+f(x)=0$；奇数项等差数列的中心项下标计算 $k=\frac{n+1}{2}$。

2. 核心方法：利用“对称性破缺与重构”的思想，将 27 项大求和化解为对称点对的零值叠加。

3. 避坑指南：计算中间项下标时，容易粗心数错，注意 $1$ 到 $27$ 的正中间项是 $\frac{1+27}{2}=14$，而不是 $13$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查函数对称性与数列结构交汇的高频经典小题，考查对奇函数核心代数特征的应用。

2. 结论推广: 若 $f(x)$ 是定义域内唯一的单调奇函数， $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，且满足 ${\sum }_{i=1}^{2m+1}f(a_i)=0$，则必有中心项 $a_{m+1}=0$，且 $f(a_{m+1})=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数
• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件