2009-上海卷理-21 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与渐近线、点到直线的距离公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，设过点 $A(-3\sqrt{2},0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\vec{e}=(1,k)$.

(1) 当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离；

(2) 证明：当 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由双曲线方程求出渐近线斜率，结合直线 $l$ 的方向向量确定其斜率。因两线平行，斜率相等。求出直线 $l$ 方程后，利用平行线间距离公式求解。
2. 第二问：设右支动点 $Q(x_0,y_0)$ 并列出距离公式。利用右支范围 $x_0\ge \sqrt{2}$ 构建关于距离的函数，求导得到其最小值。最后通过代数变形证明该最小值在 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时恒大于 $\sqrt{6}$。

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直线 $l$ 的方程为 $x-\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$ 或 $x+\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$，其与对应渐近线 $m$ 的距离均为 $\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第一问求解

由双曲线 $C:\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 可知，$a=\sqrt{2}$，$b=1$。 其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

因为直线 $l$ 过点 $A(-3\sqrt{2},0)$ 且方向向量为 $\vec{e}=(1,k)$，故其斜率为 $k$。 直线 $l$ 的方程为： $y=k(x+3\sqrt{2})⟹kx-y+3\sqrt{2}k=0$

若 $l$ 与其中一条渐近线 $m$ 平行，则斜率相等。分两种情况讨论：

• 情况一：若 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 直线 $l$ 的方程为： $x-\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$ 此时对应的平行渐近线 $m$ 为： $x-\sqrt{2}y=0$ 两平行线间的距离为： $d=\frac{|3\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

• 情况二：若 $k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 直线 $l$ 的方程为： $x+\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$ 此时对应的平行渐近线 $m$ 为： $x+\sqrt{2}y=0$ 两平行线间的距离为： $d=\frac{|3\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

综上所述，直线 $l$ 的方程为 $x-\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$ 或 $x+\sqrt{2}y+3\sqrt{2}=0$，其与对应渐近线 $m$ 的距离均为 $\sqrt{6}$。

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(2) 第二问证明

设 $Q(x_0,y_0)$ 为双曲线 $C$ 右支上的任意一点，则有： $\frac{x_0^2}{2}-y_0^2=1⟹y_0^2=\frac{x_0^2}{2}-1(x_0\ge \sqrt{2})$

点 $Q$ 到直线 $l:kx-y+3\sqrt{2}k=0$ 的距离为： $d=\frac{|k{x}_0-y_0+3\sqrt{2}k|}{\sqrt{k^2+1}}$

当 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 且 $x_0\ge \sqrt{2}$ 时，显然有 $3\sqrt{2}k>3>0$。 因为 $y_0\le |y_0|=\sqrt{\frac{x_0^2}{2}-1}$，所以： $k{x}_0-y_0\ge k{x}_0-\sqrt{\frac{x_0^2}{2}-1}$

构造函数 $g(x)=kx-\sqrt{\frac{x^2}{2}-1}$（$x\ge \sqrt{2}$），对其求导得： $g^{\prime }(x)=k-\frac{x}{2\sqrt{\frac{x^2}{2}-1}}=k-\frac{x}{\sqrt{2x^2-4}}$

令 $g^{\prime }(x)=0$，解得唯一驻点： $x_1=\frac{2k}{\sqrt{2k^2-1}}$ 因 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}⟹2k^2-1>0$，故 $x_1=\sqrt{2+\frac{2}{2k^2-1}}>\sqrt{2}$ 恒成立。

经分析可知：

• 当 $\sqrt{2}\le x<x_1$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>x_1$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。

因此，当 $x=x_1$ 时，$g(x)$ 取得最小值： $g(x{)}_{\min }=g(x_1)=k\cdot \frac{2k}{\sqrt{2k^2-1}}-\sqrt{\frac{2k^2}{2k^2-1}-1}=\sqrt{2k^2-1}$

进而可知： $k{x}_0-y_0+3\sqrt{2}k\ge \sqrt{2k^2-1}+3\sqrt{2}k>0$

故点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离的最小值 $d_{\min }$ 为： $d_{\min }=\frac{\sqrt{2k^2-1}+3\sqrt{2}k}{\sqrt{k^2+1}}$

下面证明对任意 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$，恒有 $d_{\min }>\sqrt{6}$。 即证： $\sqrt{2k^2-1}+3\sqrt{2}k>\sqrt{6k^2+6}$ 由于两边均为正数，平方等价于： $(2k^2-1)+18k^2+6\sqrt{2}k\sqrt{2k^2-1}>6k^2+6$ 整理得： $14k^2-7+6\sqrt{2}k\sqrt{2k^2-1}>0⟺7(2k^2-1)+6\sqrt{2}k\sqrt{2k^2-1}>0$ 因 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $2k^2-1>0$，故上式左边两项均大于 $0$，不等式显然恒成立。

由此可知，对任意 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$，右支上任意点到直线 $l$ 的距离均大于 $\sqrt{6}$。 即在双曲线 $C$ 的右支上不存在满足条件的点 $Q$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程及斜率表征，点到直线距离公式的极限状态，多元变量导数求最值。
2. 核心方法：

• 函数消元与求导：利用双曲线方程将双变量 $x_0,y_0$ 转化为单变量，通过求导精准锁定距离的边界值。
• 不等式化简技巧：在最后证明 $d_{\min }>\sqrt{6}$ 时，直接平方法极易产生繁复的代数式。通过对项重新组合，提取因式 $(2k^2-1)$ 可以极快完成符号判定。

3. 避坑指南：

• 定义域丢失：求导寻找驻点时，切勿忽略双曲线右支的区间限制 $x_0\ge \sqrt{2}$，需验证驻点 $x_1$ 是否在定义域内。
• 去绝对值符号：在距离公式化简中，由于 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 且 $x_0\ge \sqrt{2}$，分子部分恒为正，应主动去掉绝对值以便于后续求导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题来源于高等几何中关于**“非有界二次曲线外一点到曲线的最短距离”**的经典课题。在解析几何中，双曲线上的点到其外部直线的距离存在极值，且该极值点处的切线必定与已知直线平行。本题利用初等导数手段对这一几何规律进行了严格的代数论证。
2. 结论推广： 若双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，直线 $l$ 的斜率为 $k$（满足 $|k|>\frac{b}{a}$），则双曲线右支上的动点到直线 $l:kx-y+m=0$ 的距离下限对应代数式中必包含 $\sqrt{a^2{k}^2-b^2}$ 项。本题即为 $a=\sqrt{2},b=1$ 时的特例展示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性