2009-四川卷理-06 单-不等式

本题导读

本题考查常用逻辑用语中的充要条件判定，解题核心在于熟练运用不等式的同向可加性与移项法则。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知 $a,b,c,d$ 为实数，且 $c>d$.则“$a>b$”是“$a-c>b-d$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性判定：由 $a>b$ 且 $c>d$，推导是否必有 $a-c>b-d$。
2. 必要性判定：由 $a-c>b-d$ 且 $c>d$，推导是否必有 $a>b$。

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“$a>b$”是“$a-c>b-d$”的必要而不充分条件

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性分析： 已知 $c>d⟺-c<-d$。 当 $a>b$ 时，若取 $a=2,b=1,c=10,d=1$（满足 $a>b$ 且 $c>d$）， 则 $a-c=2-10=-8$，$b-d=1-1=0$，此时 $a-c<b-d$。 故由“$a>b$”不能推出“$a-c>b-d$”，充分性不成立。

• 必要性分析： 若 $a-c>b-d$，利用不等式移项性质可得：$a-b>c-d$。 又已知 $c>d⟺c-d>0$， 根据传递性可得 $a-b>c-d>0⟹a-b>0⟹a>b$。 故由“$a-c>b-d$”必能推出“$a>b$”，必要性成立。

综上所述，“$a>b$”是“$a-c>b-d$”的必要而不充分条件。

故正确选项为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的定义，不等式的大小比较。
2. 核心方法：特例反驳法（用于否定充分性），代数变形法（用于证明必要性）。
3. 避坑指南：不等式不能直接进行同向相减运算（即由 $a>b,c>d$ 不能得到 $a-c>b-d$），必须转化为同向相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属高考传统的逻辑与不等式交汇题，旨在考查逻辑推导的严密性与不等式基本运算性质。
2. 结论推广：已知 $c>d$，则“$a>b$”是“$a-c>b-d$”的必要而不充分条件；而“$a-d>b-c$”则是“$a-c>b-d$”的既不充分也不必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式