2009-大纲卷II文-08 单-双曲线渐近线切圆

本题导读

考查渐近线与圆相切。由 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 得渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$，圆心 $(3,0)$ 到直线的距离即 $r$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 的渐近线与圆 $(x-3{)}^2+y^2=r^2$（$r>0$）相切，则 $r=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=6$，$b^2=3$，渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$，即 $x\mp \sqrt{2}y=0$。
2. 圆心 $(3,0)$ 到直线 $x-\sqrt{2}y=0$ 的距离 $=\frac{3}{\sqrt{1+2}}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $a^2=6$、$b^2=3$ 得渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x,\text{即}x-\sqrt{2}y=0\text{或}x+\sqrt{2}y=0.$ 相切等价于圆心 $(3,0)$ 到渐近线的距离等于半径： $r=\frac{|3-\sqrt{2}\times 0|}{\sqrt{1+2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与圆的相切

核心方法：渐近线方程 + 点到直线距离

避坑指南：$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 的渐近线斜率是 $\pm \frac{b}{a}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，别写成 $\pm \frac{a}{b}$；相切即距离等于半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线渐近线与圆相切是高频小题组合。

结论推广：$r=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：焦点在 $x$ 轴上时渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；先化直线一般式再代距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率