2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合

本题导读

考查图象平移重合。右移 $\frac{\pi }{6}$ 后相位为 $\omega x+\frac{\pi }{4}-\frac{\omega \pi }{6}$，与 $\frac{\pi }{6}$ 对模 $\pi$ 同余，解出 $\omega$ 的最小正值。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$（$\omega >0$）的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 右移 $\frac{\pi }{6}$：$y=\tan \left(\omega \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}-\frac{\omega \pi }{6}\right)$。
2. 重合 $⟺\frac{\pi }{4}-\frac{\omega \pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。
3. $\omega =\frac{1}{2}-6k$，$\omega >0$ 时最大 $k$ 为 $0$，$\omega =\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得 $y=\tan \left[\omega \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{4}\right]=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}-\frac{\omega \pi }{6}\right).$ 与 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 重合，等价于初相对模 $\pi$ 同余： $\frac{\pi }{4}-\frac{\omega \pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbf{Z})⟹\frac{\omega \pi }{6}=\frac{\pi }{12}-k\pi ⟹\omega =\frac{1}{2}-6k.$ 由 $\omega >0$ 知 $k⩽0$，$k=0$ 时 $\omega$ 取最小值 $\frac{1}{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的平移与重合

核心方法：平移后比较初相（对模 $\pi$ 同余）

避坑指南：正切函数周期是 $\pi$，相位差为 $k\pi$ 才重合；右移是减 $\omega \cdot \frac{\pi }{6}$，方向别弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象平移重合求参数是三角图象变换的高阶题。

结论推广：$\tan$ 的图象重合 $⟺$ 初相相差 $k\pi$；$\sin$、$\cos$ 还要考虑翻折情形。

方法推广：平移量要乘 $\omega$（横向平移是 $x$ 的变化），这是最易错点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移
• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称