2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角

本题导读

解三角形。$\cos B=-\cos (A+C)$，条件化为 $2\sin A\sin C=\frac{3}{2}$；由 $b^2=ac$ 得 ${\sin }^{2}B=\frac{3}{4}$，结合范围定 $B$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边长分别为 $a$、$b$、$c$，$\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$，$b^2=ac$，求 $B$.

🔍【思路分析】

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1. $\cos B=\cos [\pi -(A+C)]=-\cos (A+C)$，故 $\cos (A-C)-\cos (A+C)=2\sin A\sin C=\frac{3}{2}$。
2. 由 $b^2=ac$ 与正弦定理得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C=\frac{3}{4}$，$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$B=\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$。
3. 若 $B=\frac{2\pi }{3}$，则 $A+C=\frac{\pi }{3}$，$\sin A\sin C⩽{\sin }^2\frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}<\frac{3}{4}$，矛盾，舍去。

✅【答案】

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$B=\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $B=\pi -(A+C)$，所以 $\cos B=-\cos (A+C)$。条件化为 $\cos (A-C)-\cos (A+C)=\frac{3}{2}.$ 由差角公式展开： $\cos A\cos C+\sin A\sin C-(\cos A\cos C-\sin A\sin C)=2\sin A\sin C=\frac{3}{2},$ 即 $\sin A\sin C=\frac{3}{4}$。 由 $b^2=ac$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C=\frac{3}{4},$ 故 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sin B>0$），$B=\frac{\pi }{3}$ 或 $B=\frac{2\pi }{3}$。 若 $B=\frac{2\pi }{3}$，则 $A+C=\frac{\pi }{3}$，而 $\sin A\sin C⩽{\sin }^2\frac{A+C}{2}={\sin }^2\frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}<\frac{3}{4},$ 矛盾，故 $B\ne \frac{2\pi }{3}$。 综上，$B=\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差角公式与正弦定理

核心方法：差角与和角的余弦相减化积 + 范围排除

避坑指南：$\cos (A-C)+\cos B$ 中先把 $\cos B$ 化为 $-\cos (A+C)$ 才能凑出 $2\sin A\sin C$；由 $B=\frac{2\pi }{3}$ 的矛盾要用 $\sin A\sin C$ 的上界 $\frac{1}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形中边角混合条件统一化边或化角是标准路线。

结论推广：$\cos (A-C)-\cos (A+C)=2\sin A\sin C$；$b^2=ac⟺{\sin }^{2}B=\sin A\sin C$。

方法推广：多解排除常用”和定积最大”：$A+C$ 固定时 $\sin A\sin C⩽{\sin }^2\frac{A+C}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形