2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角

本题导读

立体几何大题。$O$ 为 $AC\cap BD$ 中点，$OE\parallel PA$ 证 (1)；$AC\perp DO$ 且 $AC\perp PD$ 证 (2)；$C$ 到平面 $PBD$ 距离 $CO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan \theta =\frac{1}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\perp CD$，且 $DB$ 平分 $\angle ADC$，$E$ 为 $PC$ 的中点，$AD=CD=1$，$DB=2\sqrt{2}$.

(1)证明：$PA\parallel$ 平面 $BDE$；

(2)证明：$AC\perp$ 平面 $PBD$；

(3)求直线 $BC$ 与平面 $PBD$ 所成的角的正切值.

🔍【思路分析】

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1. (1) $△ADC$ 为等腰直角三角形，$DB$ 平分 $\angle ADC$ 交 $AC$ 于其中点 $O$；$OE$ 为 $△APC$ 中位线，$OE\parallel PA$，且 $OE\subset$ 平面 $BDE$。
2. (2) 等腰三角形三线合一：$DO\perp AC$；又 $PD\perp$ 底面 $\Rightarrow PD\perp AC$，故 $AC\perp$ 平面 $PBD$。
3. (3) $C$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $CO=\frac{\sqrt{2}}{2}$（$O$ 为垂足），$BC=\sqrt{5}$；$\sin \theta =\frac{CO}{BC}=\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\tan \theta =\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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(1) (2)证明见解析；(3)$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $AD=CD$ 且 $AD\perp CD$，$△ADC$ 是等腰直角三角形；$DB$ 平分 $\angle ADC$，设 $AC\cap DB=O$，则 $O$ 是 $AC$ 的中点，且 $DO\perp AC$。 在 $△APC$ 中，$O$、$E$ 分别为 $AC$、$PC$ 的中点，故 $OE$ 是中位线，$OE\parallel PA$。 又 $OE\subset$ 平面 $BDE$，$PA⊈$ 平面 $BDE$，所以 $PA\parallel$ 平面 $BDE$。

（2） 由（1）知 $DO\perp AC$；又 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AC\subset$ 平面 $ABCD$，故 $PD\perp AC$。 而 $PD\cap DO=D$，所以 $AC\perp$ 平面 $PBD$。

（3） 由（2）知 $AC\perp$ 平面 $PBD$，垂足为 $O$，故 $C$ 到平面 $PBD$ 的距离 $d=CO=\frac{1}{2}AC$。 在等腰直角 $△ADC$ 中，$AC=\sqrt{2}$，故 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在底面中，$DB$ 平分 $\angle ADC$ 且 $AD=CD=1$，$\angle ADC=90^{\circ }$，可设 $\overrightarrow{DA}=(1,0)$，$\overrightarrow{DC}=(0,1)$，则 $B$ 在角平分线上，$B=(2,2)$（由 $DB=2\sqrt{2}$），故 $BC=\sqrt{(2-0{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$。 设直线 $BC$ 与平面 $PBD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{d}{BC}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$ 故 $\tan \theta =\frac{1}{3}$（由 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}$ 得 $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行、线面垂直与线面角

核心方法：中位线证平行 + 三线合一证垂直 + 垂足定线面角

避坑指南：$O$ 是 $AC$ 中点由等腰三角形三线合一而来，是三问共同的枢纽；(3) 的垂足就是 $O$，距离 $CO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，别另找垂足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥三问（平行/垂直/角）是立体几何解答题经典骨架。

结论推广：$OE$ 中位线证 $PA\parallel$ 平面 $BDE$；$AC\perp DO$、$AC\perp PD$ 双垂直证 $AC\perp$ 平面 $PBD$。

方法推广：线面角用定义：$\sin \theta =\frac{d}{|BC|}$，$d$ 为 $C$ 到平面的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积