2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域

本题导读

考查导数综合。$0<a⩽2\sqrt{2}$ 时在 $(0,+\infty )$ 增；$a>2\sqrt{2}$ 时增减区间由两根分。$a=3$ 时 $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}$，值域 $\left[2-3\ln 2,{\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5\right]$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 已知函数 $f(x)=x-\frac{2}{x}+1-a\ln x$，$a>0$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 设 $a=3$，求 $f(x)$ 在区间 $[1,{\mathrm{e}}^2]$ 上值域，其中 $\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=1+\frac{2}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-ax+2}{x^2}$，符号由 $g(x)=x^2-ax+2$ 决定。
2. $0<a⩽2\sqrt{2}$：$g⩾0$ 恒成立，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 增。
3. $a>2\sqrt{2}$：两根 $x_1<x_2$，$f$ 在 $(0,x_1)$，$(x_2,+\infty )$ 增，$(x_1,x_2)$ 减。
4. $a=3$：$f^{\prime }=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}$，$[1,2]$ 减、$[2,{\mathrm{e}}^2]$ 增；比较 $f(1)=0$，$f(2)=2-3\ln 2$，$f({\mathrm{e}}^2)={\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $\left[2-3\ln 2,{\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数的定义域为 $x>0$，且 $f^{\prime }(x)=1+\frac{2}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-ax+2}{x^2}$。 因为 $x^2>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $g(x)=x^2-ax+2$ 决定。 当 $0<a<2\sqrt{2}$ 时，$g(x)$ 的判别式 $a^2-8<0$，且二次项系数为正，所以 $g(x)>0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 当 $a=2\sqrt{2}$ 时，$g(x)=(x-\sqrt{2}{)}^2⩾0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 当 $a>2\sqrt{2}$ 时，令 $x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2}$，$x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}$，则 $0<x_1<x_2$，且 $g(x)=(x-x_1)(x-x_2)$。 所以 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减。 (2) 当 $a=3$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}$。 因此 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，在 $[2,+\infty )$ 上单调递增。考察区间 $[1,{\mathrm{e}}^2]$ 上的端点和极值点： $f(1)=0$，$f(2)=2-3\ln 2$，$f({\mathrm{e}}^2)={\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5$。 其中 $2-3\ln 2\approx -0.0794$，${\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5\approx 2.118$，故最小值为 $2-3\ln 2$，最大值为 ${\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5$。 所以值域为 $\left[2-3\ln 2,{\mathrm{e}}^2-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}-5\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与值域

核心方法：判别式分类 + 极值端点比较

避坑指南：$g(x)=x^2-ax+2$ 的判别式 $a^2-8$ 定分类：$\Delta ⩽0$ 恒增，$\Delta >0$ 两根分区间；(2) 中 $f(2)=2-3\ln 2$ 是最小值，$f(1)=0$ 与 $f({\mathrm{e}}^2)$ 都要算出来比大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参数单调性讨论的完整标准：分判别式正负与根的位置。

结论推广：$f^{\prime }$ 的分子是二次式时，符号由该二次式与 $x^2>0$ 共同决定。

方法推广：闭区间值域等于比较极值点与两端点函数值，估算（$\ln 2\approx 0.69$）辅助判大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立