2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值

本题导读

考查新定义分段函数。$f(x)$ 取三条直线 $y=2x$、$y=x+2$、$y=10-x$ 中的最小值，画出图象，最大值出现在上折点处。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 用 $\min \{a,b,c\}$ 表示 $a$，$b$，$c$ 三个数中的最小值.设 $f(x)=\min \{2x,x+2,10-x\}$（$x⩾0$），则 $f(x)$ 的最大值为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $7$

🔍【思路分析】

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1. 三条直线两两相交：$2x=x+2$ 得 $x=2$；$x+2=10-x$ 得 $x=4$。
2. 逐段确定 $f(x)$：$0⩽x⩽2$ 时取 $2x$，$2⩽x⩽4$ 时取 $x+2$，$x⩾4$ 时取 $10-x$。
3. 上折点在 $x=4$ 处，值为 $6$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $0⩽x⩽2$ 时，$2x⩽x+2$ 且 $2x⩽10-x$，故 $f(x)=2x$，最大为 $4$； 当 $2⩽x⩽4$ 时，$x+2⩽2x$ 且 $x+2⩽10-x$，故 $f(x)=x+2$； 当 $x⩾4$ 时，$10-x⩽x+2$ 且 $10-x⩽2x$（$x⩾\frac{10}{3}$），故 $f(x)=10-x$，递减。 因此 $f(x)$ 在 $x=4$ 处取得最大值 $f(4)=6$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义分段函数的最值

核心方法：图象法找上折点

避坑指南：$\min$ 取的是”低”的那段图象，最大值出现在图象的最高折点，别取成直线的交点横坐标本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义函数是高考创新题常见载体。

结论推广：$\min \{2x,x+2,10-x\}$ 的图象是三条直线的下包络线。

方法推广：逐段解不等式确定每段”谁最小”，再找最大值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根
• 2011-江苏卷-11 填-分段函数求参数
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程