2009-新课标卷文-18 解-向量垂直与三棱锥体积

本题导读

第 (1) 问用基底向量把 $AB\perp PC$ 化为数量积为零；第 (2) 问以 $PC$ 为轴、面 $PAC\perp$ 面 $PBC$ 建系，由等边三角形条件定出各点坐标后求体积。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$△PAB$ 是等边三角形，$\angle PAC=\angle PBC=90^{\circ }$.

(1)求证：$AB\perp PC$；

(2)若 $PC=4$，且平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$，求三棱锥 $P-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. (1) 记 $\mathbf{a}=\overrightarrow{PA}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{PB}$，$\mathbf{c}=\overrightarrow{PC}$。由 $\angle PAC=\angle PBC=90^{\circ }$ 得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{a}{|}^2$，$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{b}{|}^2$；再由 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$ 得 $(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=0$，即 $AB\perp PC$。
2. (2) 因面 $PAC\perp$ 面 $PBC$，以 $PC$ 为 $z$ 轴、两半平面为 $xz$ 面与 $yz$ 面建系，设 $PA=PB=s$，由 $PA\perp AC$、$PB\perp BC$ 及 $\angle APB=60^{\circ }$ 解出 $s^2=8$，写出 $A$，$B$，$C$ 坐标后求体积。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设 $\mathbf{a}=\overrightarrow{PA}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{PB}$，$\mathbf{c}=\overrightarrow{PC}$。 由 $\angle PAC=90^{\circ }$ 得 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，即 $(-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{a})=0$，故 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{a}{|}^2$；同理 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{b}{|}^2$。 由 $△PAB$ 为等边三角形得 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，于是 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{PC}=(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2=0,$ 故 $AB\perp PC$。

（2） 由平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$，取 $PC$ 为 $z$ 轴，使平面 $PAC$、平面 $PBC$ 分别为 $xz$ 平面与 $yz$ 平面。设 $PA=PB=s$，记 $A=(u,0,r)$，$B=(0,v,w)$，$C=(0,0,4)$。 由 $PA\perp AC$ 得 $u^2=r(4-r)$，故 $s^2=u^2+r^2=4r$；同理 $s^2=4w$，故 $r=w=\frac{s^2}{4}$。 由 $\angle APB=60^{\circ }$ 得 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{s^2}{2}$，而 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=rw=\frac{s^4}{16}$，故 $\frac{s^4}{16}=\frac{s^2}{2}$，解得 $s^2=8$，从而 $r=w=2$，$u^2=v^2=8-4=4$。 取 $A=(2,0,2)$，$B=(0,2,2)$，$C=(0,0,4)$，$P=(0,0,0)$，则 $V_{P-ABC}=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC})\right|=\frac{1}{6}\left|(2,0,2)\cdot (8,0,0)\right|=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$ （注：$\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC}=(0,2,2)\times (0,0,4)=(8,0,0)$。） 故三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证明线线垂直与求体积

核心方法：基底向量法 + 垂直平面建系

避坑指南：第 (2) 问解出 $s^2=8$ 后，坐标中 $u^2=8-2^2=4$，开方取正即可；体积公式用混合积或等体积法均可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两侧面垂直的几何体常以公共棱为 $z$ 轴建系。

结论推广：$\angle PAC=\angle PBC=90^{\circ }$ 给出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{a}{|}^2$ 这类”投影型”数量积关系。

方法推广：面面垂直 $\Rightarrow$ 以交线为轴、两半平面为坐标面，是天然的建系信号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积
• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角