2009-江苏卷-09 填-切线求点

本题导读

考查切线斜率。$3x^2-10=2$ 得 $x=\pm 2$，第二象限取 $x=-2$，点 $(-2,15)$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 在曲线 $C:y=x^3-10x+3$ 上，且在第二象限内.已知曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线的斜率为 $2$，则点 $P$ 的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $y^{\prime }=3x^2-10=2\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$。
2. 第二象限要求 $x<0$，取 $x=-2$，$y=(-2{)}^3-10\times (-2)+3=15$。

✅【答案】

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$(-2,15)$

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=3x^2-10$。由切线斜率为 $2$，得 $3x^2-10=2$，$x^2=4$，$x=\pm 2$。 因为点 $P$ 在第二象限，$x<0$，所以 $x=-2$，此时 $y=(-2{)}^3-10\times (-2)+3=-8+20+3=15$。 故 $P(-2,15)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义

核心方法：$k_{\text{切}}=y^{\prime }(x_0)$

避坑指南：$x^2=4$ 有两解，“第二象限”筛去 $x=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由切线斜率反求切点是逆向用导数的典型。

结论推广：$3x^2-10=2$ 得 $x=\pm 2$，代入原曲线求纵坐标。

方法推广：象限条件必须落实：第二象限 $x<0$ 且 $y>0$，两处都要核。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距