2009-江苏卷-14 填-等比数列四项链

本题导读

考查等比数列。$b_n-1$ 中 $-24,36,-54,81$ 成等比，$q=-\frac{3}{2}$，$6q=-9$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$|q|>1$.令 $b_n=a_n+1$（$n=1,2,\cdots$）.若数列 $\{b_n\}$ 有连续四项在集合 $\{-53,-23,19,37,82\}$ 中，则 $6q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 连续四项 $b$ 值各减 $1$ 得对应的 $a$ 值，须构成 $|q|>1$ 的等比链。
2. 在 $\{-54,-24,18,36,81\}$ 中找等比四项：$-24,36,-54,81$（$q=-\frac{3}{2}$）。
3. $6q=-9$。

✅【答案】

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$-9$

✍【详细解析】

Abstract

设连续四项为 $b_k,b_{k+1},b_{k+2},b_{k+3}$，则对应的 $a_k,\cdots ,a_{k+3}=b_i-1$ 仍是等比数列（公比 $q$）。 集合各数减 $1$：$-54,-24,18,36,81$。在其中找公比绝对值大于 $1$ 的等比四项： $-24\times \left(-\frac{3}{2}\right)=36$，$36\times \left(-\frac{3}{2}\right)=-54$，$-54\times \left(-\frac{3}{2}\right)=81$， 即 $-24,36,-54,81$ 成公比 $q=-\frac{3}{2}$ 的等比数列，$|q|>1$ 符合。 对应 $b$ 值为 $-23,37,-53,82$，均在给定集合中。 所以 $6q=6\times \left(-\frac{3}{2}\right)=-9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列

核心方法：$b_n-1$ 还原成 $a_n$ 后找等比链

避坑指南：各数减 $1$：$-54,-24,18,36,81$，公比 $-\frac{3}{2}$ 的链是 $-24\to 36\to -54\to 81$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“连续四项在集合中”先平移还原再枚举。

结论推广：$|q|>1$ 排除公比绝对值小的排列。

方法推广：$6q$ 而非 $q$ 是答案，单位别弄错；验一遍链上每个数确在集合中。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件