2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。顶点 $(2,0)$ 处 $2x+3y$ 最小，最小值 $4$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y⩾2,\\ 2x-y⩽4,\\ x-y⩾0,\end{array}$ 则 $2x+3y$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域顶点：$(2,0)$（$x+y=2$ 与 $x-y=0$ 交点）、$(0,2)$、$(4,4)$ 等。
2. 直线 $2x+3y=0$ 平移，最先触到的可行域顶点为 $(2,0)$。
3. 最小值 $2\times 2+0=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域：$x+y⩾2$，$2x-y⩽4$，$x-y⩾0$ 围成的区域（含顶点 $(2,0)$，$(0,2)$，$(4,4)$ 等）。 目标函数 $z=2x+3y$，随直线 $2x+3y=z$ 向左下平移而减小。 过顶点 $(2,0)$ 时 $z=2\times 2+3\times 0=4$；过 $(0,2)$ 时 $z=6$；过 $(4,4)$ 时 $z=20$。 故最小值为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简单的线性规划

核心方法：画可行域 + 顶点代入

避坑指南：可行域顶点逐个代入目标函数比较，最小在 $(2,0)$ 处取 $4$；平移方向搞反会错取最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值是文数高频小题。

结论推广：$z=2x+3y$ 沿法向量 $(2,3)$ 方向增大。

方法推广：顶点由约束直线两两相交得到，解方程组求坐标后要验证点在域内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值
• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域