2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线

本题导读

考查抛物线综合。$x^2=y$，$m=\pm 2$；切线条件 $k^2+tk+1-2t^2=0$，有解需 $t⩾\frac{2}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）上一点 $A(m,4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$.

(1) 求 $p$ 与 $m$ 的值；

(2) 设抛物线 $C$ 上一点 $P$ 的横坐标为 $t$（$t>0$），过 $P$ 的直线交 $C$ 于另一点 $Q$，交 $x$ 轴于点 $M$.过点 $Q$ 作 $PQ$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $N$.若 $MN$ 是 $C$ 的切线，求 $t$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}$ 得 $p=\frac{1}{2}$；$m^2=8p=4$。
2. (2) 设 $P(t,t^2)$，$PQ$ 斜率 $k$，则 $x_Q=k-t$，$x_N=-(k-t)-\frac{1}{k}$。
3. $MN$ 切 $C$ 于 $N$ $\iff$ $x_N=2x_M$，化简得 $k^2+tk+1-2t^2=0$。
4. 有解需 $t^2-4(1-2t^2)⩾0$，即 $t⩾\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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(1) $p=\frac{1}{2}$，$m=\pm 2$；(2) $t$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抛物线的准线方程为 $y=-\frac{p}{2}$。根据抛物线的定义，点 $A$ 到焦点的距离等于它到准线的距离， 即 $4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}$，解得 $p=\frac{1}{2}$。 抛物线方程为 $x^2=y$，将 $A(m,4)$ 代入得 $m^2=4$，解得 $m=\pm 2$。 (2) 由 (1) 抛物线为 $y=x^2$，$P(t,t^2)$（$t>0$）。设直线 $PQ$ 的斜率为 $k$（$k\ne 0$）， 其方程为 $y-t^2=k(x-t)$。令 $y=0$ 得 $x_M=t-\frac{t^2}{k}$。 与 $y=x^2$ 联立：$x^2-kx+kt-t^2=0$，即 $(x-t)(x-(k-t))=0$，故 $x_Q=k-t$，$Q\left(k-t,(k-t{)}^2\right)$。 直线 $QN$ 与 $PQ$ 垂直，斜率为 $-\frac{1}{k}$：$y-(k-t{)}^2=-\frac{1}{k}(x-(k-t))$。 与 $y=x^2$ 联立，已知一根 $x_Q=k-t$，由韦达定理（方程 $k{x}^2+x-k(k-t{)}^2-(k-t)=0$ 中两根之和 $-\frac{1}{k}$）， 得 $x_N=-\frac{1}{k}-(k-t)=-\frac{k(k-t)+1}{k}$。 $MN$ 是 $C$ 的切线即直线 $MN$ 与 $y=x^2$ 相切于 $N$：切线 $y=2x_{N}x-x_N^2$ 过 $M(x_M,0)$， 得 $x_N(2x_M-x_N)=0$。由 $x_N=0$ 会推出 $k^2-tk+1=0$ 与切线条件矛盾，故 $x_N=2x_M$： $-(k-t)-\frac{1}{k}=2t-\frac{2t^2}{k}$，两边乘 $k$ 整理得 $k^2+tk+1-2t^2=0$。 该关于 $k$ 的一元二次方程有实数解，当且仅当 $\Delta =t^2-4(1-2t^2)=9t^2-4⩾0$，即 $t⩾\frac{2}{3}$（$t>0$）。 当 $t=\frac{2}{3}$ 时，$k=-\frac{t}{2}$，可验证此时 $PQ$、$QN$ 与 $M$ 均满足题设。 故 $t$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与切线条件

核心方法：焦点距离转准线 + 切线化为判别式

避坑指南：$x_N=2x_M$ 是 $y=x^2$ 过点 $M$ 的切线的代数特征（切线 $y=2x_{N}x-x_N^2$）；$x_N=0$ 的情形要单独验证并舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线上点的焦半径等于到准线的距离，第一问直接列式。

结论推广：切线问题两条路：联立判别式为零，或用 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处的切线 $y=2x_{0}x-x_0^2$。

方法推广：“存在斜率 $k$ 使条件成立”转化为关于 $k$ 的方程有解，判别式 $⩾0$ 给出参数范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参