2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用

本题导读

考查实际最值。$y=225x+\frac{129600}{x}-360$（$x>0$），$x=24$ 时最少 $10440$ 元。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 围建一个面积为 $360{\mathrm{m}}^2$ 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建.在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 $2\mathrm{m}$ 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为 $45$ 元/m，新墙的造价为 $180$ 元/m.设利用的旧墙的长度为 $x$（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为 $y$（单位：元）.

(1)将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)试确定 $x$，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 场地面积为 $360$，旧墙长 $x$，则另一边长 $\frac{360}{x}$。
2. 费用 = 旧墙维修 $45x$ + 对面新墙 $180(x-2)$ + 两侧新墙 $180\times 2\times \frac{360}{x}$。
3. $y=45x+180x-360+\frac{129600}{x}=225x+\frac{129600}{x}-360$（$x>0$）。
4. $y⩾2\sqrt{225x\cdot \frac{129600}{x}}-360=2\times 5400-360=10440$， 等号当 $225x=\frac{129600}{x}$ 即 $x=24$ 时成立。

✅【答案】

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(1) $y=225x+\frac{129600}{x}-360$（$x>0$）；(2)$x=24\mathrm{m}$ 时总费用最小，为 $10440$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）设矩形的另一边长为 $\frac{360}{x}$ m。 旧墙维修费为 $45x$ 元；旧墙对面的新墙长为 $x-2$ m（留出 $2$ m 进出口），造价 $180(x-2)$ 元； 两侧新墙长共 $2\times \frac{360}{x}$ m，造价 $180\times \frac{720}{x}$ 元。 所以 $y=45x+180(x-2)+180\times \frac{720}{x}=225x+\frac{129600}{x}-360$（$x>0$）。 （2）由均值不等式，$225x+\frac{129600}{x}⩾2\sqrt{225\times 129600}=2\times 5400=10800$， 当且仅当 $225x=\frac{129600}{x}$，即 $x=24$ 时等号成立。 此时 $y_{\min }=10800-360=10440$ 元。 故当 $x=24$ m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用为 $10440$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式的实际应用

核心方法：费用分三段，凑 $ax+\frac{b}{x}$ 结构

避坑指南：$y=225x+\frac{129600}{x}-360⩾10800-360=10440$，等号 $x=24$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：应用题先写函数定义域（$x>0$），且实际背景决定 $x-2⩾0$ 也应成立。

结论推广：均值不等式取等条件 $225x=\frac{129600}{x}$ 解出 $x=24$ 后要代回验值。

方法推广：模型同”围栏问题”：对面墙扣进出口只是让一次项系数不变、常数项减 $360$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

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