2009-湖南卷文-01 单-对数求值

本题导读

考查对数求值。${\log }_2\sqrt{2}={\log }_2{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） ${\log }_2\sqrt{2}$ 的值为 ()

A. $-\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$。
2. ${\log }_2{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$，所以 ${\log }_2\sqrt{2}={\log }_2{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算性质

核心方法：底数指数统一：$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$，再用 ${\log }_a{a}^t=t$

避坑指南：别把 ${\log }_2\sqrt{2}$ 与 ${\log }_{2}2$ 的关系弄混，根号就是 $\frac{1}{2}$ 次幂。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数求值三步：化同底、化指数、读结果。

结论推广：${\log }_2\sqrt{2}$、${\log }_{2}2\sqrt{2}$、${\log }_{4}2$ 是一组常考变形，核心都是指数化。

方法推广：负选项 A、C 是诱饵：真数大于 $0$ 时对数为负仅当底与真数一个大于 $1$ 一个小于 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-03 单-幂的展开求值
• 2009-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小