2009-湖南卷文-08 单-新定义分段函数

本题导读

考查新定义分段函数。$K=\frac{1}{2}$ 时 $f_K(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上递增、$(-1,1)$ 上恒为 $\frac{1}{2}$、$(1,+\infty )$ 上递减，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 设函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有定义.对于给定的正数 $K$，定义函数 $f_K(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& f(x)⩽K,\\ K,& f(x)>K.\end{array}$ 取函数 $f(x)=2^{-|x|}$.当 $K=\frac{1}{2}$ 时，函数 $f_K(x)$ 的单调递增区间为 ()

A. $(-\infty ,0)$　　　　B. $(0,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,-1)$　　　　D. $(1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. $x<0$ 时 $f(x)=2^x$；$x⩾0$ 时 $f(x)=2^{-x}$；最大值 $f(0)=1$。
2. 由 $f(x)=\frac{1}{2}$ 得 $|x|=1$，分界点为 $x=\pm 1$。
3. $f_K(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x,& x⩽-1,\\ \frac{1}{2},& -1<x<1,\\ 2^{-x},& x⩾1.\end{array}$
4. 递增段只有 $x⩽-1$，即 $(-\infty ,-1)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<0$ 时 $f(x)=2^x$；当 $x⩾0$ 时 $f(x)=2^{-x}$。由 $f(x)=\frac{1}{2}$ 得 $|x|=1$。 因而当 $K=\frac{1}{2}$ 时， $f_K(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x,& x⩽-1,\\ \frac{1}{2},& -1<x<1,\\ 2^{-x},& x⩾1.\end{array}$ 函数在 $(-\infty ,-1)$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上为常数，在 $(1,+\infty )$ 上递减。 故单调递增区间为 $(-\infty ,-1)$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与新定义

核心方法：解 $f(x)=K$ 定分界点，重写 $f_K(x)$ 分段解析式

避坑指南：$2^{-|x|}$ 在 $x=\pm 1$ 处取 $\frac{1}{2}$；截断后三段为 $2^x$、常数 $\frac{1}{2}$、$2^{-x}$，递增段仅 $(-\infty ,-1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“截尾”型新定义函数：先画原函数草图，再水平线 $y=K$ 截断。

结论推广：$f(x)⩽K$ 的部分保留原解析式，$f(x)>K$ 的部分拍平为 $K$，方向别弄反。

方法推广：递增区间要写成完整段 $(-\infty ,-1]$，选项给开区间 $(-\infty ,-1)$ 时按选项作答。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
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