2009-福建卷文-12 单-向量数量积与面积

本题导读

考查向量数量积的几何意义。设 $a$，$b$ 夹角为 $\theta$，则 $|\cos \angle (b,c)|=|\sin \theta |$，$|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{a}||\sin \theta |$ 恰为以 $a$，$b$ 为邻边的平行四边形面积，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 设 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不共线，$\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，$|\mathbf{a}|=|\mathbf{c}|$，则 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|$ 的值一定等于 ()

A. 以 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积

B. 以 $\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 为邻边的平行四边形的面积

C. 以 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 为两边的三角形面积

D. 以 $\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 为两边的三角形面积

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数量积定义：$|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{c}||\cos \angle (\mathbf{b},\mathbf{c})|$。
2. $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}$ 垂直且等长，即 $\mathbf{c}$ 可由 $\mathbf{a}$ 旋转 $90^{\circ }$ 得到，故 $|\cos \angle (\mathbf{b},\mathbf{c})|=|\sin \theta |$，其中 $\theta$ 为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。
3. 代入得 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{a}||\sin \theta |$，正是以 $a$，$b$ 为邻边的平行四边形面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$。因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$ 且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{c}|$， 在同一平面内 $|\cos \angle (\mathbf{b},\mathbf{c})|=|\sin \theta |$。 因而 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{c}||\cos \angle (\mathbf{b},\mathbf{c})|=|\mathbf{b}||\mathbf{a}||\sin \theta |$， 这正是以 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积

核心方法：把 $|\cos \angle (b,c)|$ 转化为 $|\sin \theta |$

避坑指南：$c$ 是 $a$ 旋转 $90^{\circ }$ 的等长向量，故 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{a}||\sin \theta |$；平行四边形面积公式 $S=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ 直接对上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积的绝对值 = 模、模、夹角余弦绝对值之积。

结论推广：等长旋转 $90^{\circ }$ 把”余弦”变”正弦”，是向量与面积接轨的关键一步。

方法推广：三角形面积是平行四边形的一半，看清选项问的是哪一种。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角