2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

本题导读

考查导数与切线。$f^{\prime }(x)=2ax+\frac{1}{x}=0$ 即 $2a{x}^2+1=0$，有正根当且仅当 $a<0$，答案 $(-\infty ,0)$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 若曲线 $f(x)=a{x}^2+\ln x$ 存在垂直于 $y$ 轴的切线，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切线垂直于 $y$ 轴即切线水平，需存在 $x>0$ 使 $f^{\prime }(x)=0$。
2. $f^{\prime }(x)=2ax+\frac{1}{x}$，令其为零得 $2a{x}^2+1=0$。
3. 该方程有正根 $x^2=-\frac{1}{2a}$，须 $-\frac{1}{2a}>0$，即 $a<0$。

✅【答案】

点击查看答案

$(-\infty ,0)$

✍【详细解析】

Abstract

曲线的定义域为 $x>0$，切线垂直于 $y$ 轴即切线水平，因此需要存在 $x>0$ 使 $f^{\prime }(x)=0$。 由 $f^{\prime }(x)=2ax+\frac{1}{x}$，得 $2a{x}^2+1=0$。 当且仅当 $a<0$ 时，该方程有正根 $x=\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线存在性

核心方法：水平切线 $\iff$ 导方程有正根

避坑指南：$f^{\prime }(x)=2ax+\frac{1}{x}=0$ 化为 $2a{x}^2+1=0$，有正根须 $-\frac{1}{2a}>0$ 即 $a<0$；注意定义域 $x>0$ 排除负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“垂直于 $y$ 轴的切线”就是水平切线，转成 $f^{\prime }(x_0)=0$。

结论推广：切线存在性问题最终归结为方程在某定义域内有解。

方法推广：解出参数范围后用特值验证：$a=-1$ 时 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 处确有水平切线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点