2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值

本题导读

考查椭圆综合。$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1$ 且 $a^2-b^2=1$，解得 $a^2=4$，$b^2=3$；（2）设 $AE$ 斜率 $k$，$AF$ 斜率 $-k$，韦达代入化简得 $k_{EF}=\frac{1}{2}$ 为定值。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知椭圆 $C$ 过点 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$，两个焦点为 $(-1,0)$，$(1,0)$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)$E$，$F$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，如果直线 $AE$ 的斜率与 $AF$ 的斜率互为相反数，证明直线 $EF$ 的斜率为定值，并求出这个定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c=1$，$a^2=b^2+1$；$A$ 在椭圆上：$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1$。
2. 代入整理：$4a^4-17a^2+4=0$，$(a^2-4)(4a^2-1)=0$，$a^2>1$ 故 $a^2=4$，$b^2=3$。
3. （2）设直线 $AE$：$y=k(x-1)+\frac{3}{2}$，代入椭圆方程。$A$ 横坐标为 $1$ 是一根，韦达得 $x_E$。
4. 斜率 $-k$ 同理得 $x_F$；计算 $x_F-x_E=\frac{24k}{3+4k^2}$，$2-x_E-x_F=\frac{12}{3+4k^2}$。
5. $k_{EF}=\frac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\frac{k(2-x_E-x_F)}{x_F-x_E}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；(2)直线 $EF$ 的斜率为定值 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由焦点坐标知 $c=1$，故 $a^2-b^2=c^2=1$。 又 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 在椭圆上：$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1$。 代入 $b^2=a^2-1$：$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4(a^2-1)}=1$，整理得 $4a^4-17a^2+4=0$，即 $(a^2-4)(4a^2-1)=0$。 由 $a^2>1$ 得 $a^2=4$，进而 $b^2=3$。椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。 （2）设直线 $AE$ 的斜率为 $k$，其方程为 $y=k(x-1)+\frac{3}{2}$。 代入椭圆方程并整理（乘以 $12$）：$(3+4k^2)x^2+4k(3-2k)x+4{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2-12=0$。 由于点 $A$（横坐标 $1$）在直线上也在椭圆上，$x=1$ 是方程的一个根。设另一交点 $E(x_E,y_E)$，由根与系数的关系： $x_E=\frac{4{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2-12}{3+4k^2}$，且 $y_E=k{x}_E+\frac{3}{2}-k$。 直线 $AF$ 的斜率为 $-k$，同理 $x_F=\frac{4{\left(\frac{3}{2}+k\right)}^2-12}{3+4k^2}$，$y_F=-k{x}_F+\frac{3}{2}+k$。 由直线 $EF$ 有定义知 $k\ne 0$。直接计算： $x_F-x_E=\frac{4\left[{\left(\frac{3}{2}+k\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2\right]}{3+4k^2}=\frac{4\times 6k}{3+4k^2}=\frac{24k}{3+4k^2}$ （由平方差：${\left(\frac{3}{2}+k\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2=6k$）； $x_E+x_F=\frac{4\left[{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}+k\right)}^2\right]-24}{3+4k^2}=\frac{4\left(2\times \frac{9}{4}+2k^2\right)-24}{3+4k^2}=\frac{18+8k^2-24}{3+4k^2}=\frac{8k^2-6}{3+4k^2}$， 于是 $2-x_E-x_F=\frac{2(3+4k^2)-(8k^2-6)}{3+4k^2}=\frac{12}{3+4k^2}$。 所以 $k_{EF}=\frac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\frac{-k(x_F-x_E)+2k}{x_F-x_E}=\frac{k(2-x_E-x_F)}{x_F-x_E}=\frac{k\cdot \frac{12}{3+4k^2}}{\frac{24k}{3+4k^2}}=\frac{1}{2}$。 因此直线 $EF$ 的斜率为定值 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与斜率定值

核心方法：待定系数求方程 + 对称斜率韦达算定值

避坑指南：$(a^2-4)(4a^2-1)=0$ 中 $a^2=\frac{1}{4}$ 小于 $c^2=1$ 必须舍去；$x_F-x_E$ 用平方差 ${\left(\frac{3}{2}+k\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}-k\right)}^2=6k$ 最省力。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称斜率（$k$ 与 $-k$）+ 斜率定值是圆锥曲线经典模型。

结论推广：$A$ 的横坐标是联立方程的已知根，韦达定理直接给出另一根 $x_E$。

方法推广：$k_{EF}=\frac{k(2-x_E-x_F)}{x_F-x_E}$：分子里 $2=1+1$ 来自 $A$ 的横坐标与对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹