2010-北京卷文-04 单-向量数量积函数

本题导读

考查数量积与函数性质。$f(x)=(|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2)x$，系数非零且过原点，是一次函数且为奇函数，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 若 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 是非零向量，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，$|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$，则函数 $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (x\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 是()

A. 一次函数且是奇函数　　　　　　　　B. 一次函数但不是奇函数

C. 二次函数且是偶函数　　　　　　　　D. 二次函数但不是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$f(x)=x^2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-x|\mathbf{a}{|}^2+x|\mathbf{b}{|}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。
3. $f(x)=(|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2)x$。
4. $|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$ 保证一次项系数非零；无常数项故为奇函数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

展开得 $f(x)=x^2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})-x|\mathbf{a}{|}^2+x|\mathbf{b}{|}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}.$ 因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，于是 $f(x)=\left(|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2\right)x.$ 又 $|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$，一次项系数 $|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2\ne 0$， 故 $f(x)$ 是一次函数； 且 $f(-x)=-f(x)$，$f(x)$ 是奇函数。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的运算与函数性质判定

核心方法：展开后利用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 消去二次项与常数项

避坑指南：$x^2$ 项系数是 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 而非 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$；$|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$ 恰好保证一次项系数非零，两个条件各司其职。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量条件翻译：$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。

结论推广：奇函数的必要条件之一是 $f(0)=0$（$0$ 在定义域内时），可用来快速排除。

方法推广：判断函数类型先看各项次数，再看系数是否为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积
• 2009-福建卷文-12 单-向量数量积与面积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积