2010-大纲卷I文-06 单-异面直线所成角

本题导读

考查异面直线所成角。$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$ 与 $\overrightarrow{A{C}_1}=(0,1,1)$ 夹角余弦 $\frac{1}{2}$，所成角 $60^{\circ }$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=A{A}_1$，则异面直线 $B{A}_1$ 与 $A{C}_1$ 所成的角等于()

A. $30^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　　D. $90^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 设 $AB=AC=A{A}_1=1$，建系 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(0,1,0)$、$A_1(0,0,1)$、$C_1(0,1,1)$。
2. $\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(0,1,1)$。
3. $\cos \theta =\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=AC=A{A}_1=1$。以 $A$ 为原点，$AB$、$AC$、$A{A}_1$ 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 $B(1,0,0)$，$A_1(0,0,1)$，$C_1(0,1,1)$。 直线 $B{A}_1$ 与 $A{C}_1$ 的方向向量可取 $\mathbf{u}=\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1),\mathbf{v}=\overrightarrow{A{C}_1}=(0,1,1).$ 设所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2},$ 故 $\theta =60^{\circ }$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的向量求法

核心方法：建系写方向向量，夹角余弦取绝对值

避坑指南：异面直线所成角取锐角或直角，余弦必须加绝对值；方向向量取 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 或 $\overrightarrow{B{A}_1}$ 结果相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱侧棱垂直底面，$\angle BAC=90^{\circ }$ 提供三条两两垂直的棱，建系零障碍。

结论推广：几何法（平移其中一条使之相交）与向量法均可，向量法更机械不易错。

方法推广：$\cos \theta =\frac{1}{2}$ 对应 $60^{\circ }$，特殊值直接写角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角