2010-大纲卷II文-04 单-对数反函数

本题导读

考查反函数。反解得 $x={\mathrm{e}}^{y-1}+1$，值域 $\mathbf{R}$ 变为反函数定义域，$y={\mathrm{e}}^{x-1}+1$（$x\in \mathbf{R}$），选 D。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 函数 $y=1+\ln (x-1)$（$x>1$）的反函数是()

A. $y={\mathrm{e}}^{x+1}-1$（$x>0$）　　　　　　　　　　　B. $y={\mathrm{e}}^{x-1}+1$（$x>0$）

C. $y={\mathrm{e}}^{x+1}-1$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　D. $y={\mathrm{e}}^{x-1}+1$（$x\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y-1=\ln (x-1)\Rightarrow x-1={\mathrm{e}}^{y-1}$。
2. $x={\mathrm{e}}^{y-1}+1$。
3. 原函数值域为 $\mathbf{R}$，故反函数定义域为 $\mathbf{R}$。
4. 反函数 $y={\mathrm{e}}^{x-1}+1$（$x\in \mathbf{R}$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=1+\ln (x-1)$ 得 $y-1=\ln (x-1)$， 两边取指数：$x-1={\mathrm{e}}^{y-1}$，即 $x={\mathrm{e}}^{y-1}+1$。 交换 $x,y$ 得反函数 $y={\mathrm{e}}^{x-1}+1.$ 原函数 $x>1$ 时值域为 $\mathbf{R}$，所以反函数的定义域为 $\mathbf{R}$（不是 $x>0$）， 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与定义域

核心方法：反解 $x$、交换 $x,y$、原函数值域作定义域

避坑指南：本题陷阱在定义域：原函数值域是 $\mathbf{R}$ 而非 $(0,+\infty )$，误选 B 的考生正是把 $\ln$ 的定义域直觉搬到了反函数上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求反函数三步：反解、交换、定域（原函数的值域）。

结论推广：$y=1+\ln (x-1)$ 由 $y=\ln x$ 右移 $1$ 再上移 $1$ 得到，反函数图象与原函数图象关于 $y=x$ 对称。

方法推广：指数与对数互为反函数：$\ln$ 的反解就是取 $\mathrm{e}$ 的幂。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数
• 2009-陕西卷文-03 单-反函数