2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值

本题导读

考查导数研究单调与极值。增区间 $(0,\pi )$、$\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$，减区间 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$；极大值 $\pi +2$，极小值 $\frac{3\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin x-\cos x+x+1$，$0<x<2\pi$，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=\cos x+\sin x+1=2\cos \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)$。
2. $f^{\prime }(x)=0$ 的临界点：$x=\pi$ 与 $x=\frac{3\pi }{2}$。
3. 三个子区间判号：$(0,\pi )$ 增，$\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 减，$\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 增。
4. $f(\pi )=\pi +2$ 为极大值，$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{2}$ 为极小值。

✅【答案】

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增区间 $(0,\pi )$ 与 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$，减区间 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$；极大值 $f(\pi )=\pi +2$，极小值 $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=\cos x+\sin x+1=2\cos \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right).$ 在 $0<x<2\pi$ 内，$f^{\prime }(x)=0$ 等价于 $\sin x+\cos x=-1$，故临界点为 $x=\pi$ 和 $x=\frac{3\pi }{2}$. 当 $0<x<\pi$ 时，$\cos \frac{x}{2}>0$，$\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}>0$，所以 $f^{\prime }(x)>0$； 当 $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ 时，$\cos \frac{x}{2}<0$，$\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}>0$，所以 $f^{\prime }(x)<0$； 当 $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ 时，两个因式均为负，故 $f^{\prime }(x)>0$. 因此函数在 $(0,\pi )$ 和 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 上单调递增，在 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 上单调递减. 又 $f(\pi )=\sin \pi -\cos \pi +\pi +1=\pi +2$，$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \frac{3\pi }{2}-\cos \frac{3\pi }{2}+\frac{3\pi }{2}+1=\frac{3\pi }{2}$， 所以极大值为 $\pi +2$，极小值为 $\frac{3\pi }{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究三角型函数的单调性与极值

核心方法：$f^{\prime }(x)=\cos x+\sin x+1$ 化为半角乘积，分区间判号

避坑指南：临界点 $x=\pi$ 与 $x=\frac{3\pi }{2}$ 都在定义域内，极值要在两点处都算函数值；$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-1+0+\frac{3\pi }{2}+1=\frac{3\pi }{2}$，常数项 $+1$ 与 $-\cos$ 项恰好抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sin x\pm \cos x$ 型函数求导后化半角积，是三角与导数交汇的标准手法。

结论推广：$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 也可用于定临界点，两条路殊途同归。

方法推广：单调区间必须写在定义域 $0<x<2\pi$ 内，区间端点用开区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-湖南卷文-19 解-导数对称极值
• 2009-福建卷文-21 解-导数极值与公共点