2010-山东卷文-11 单-指数与二次函数图象

本题导读

考查函数图象。$y=2^x$ 与 $y=x^2$ 有三个交点（$x=2,4$ 及一个负根），$x\to +\infty$ 时 $2^x$ 远大于 $x^2$，故选 A

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 函数 $y=2^x-x^2$ 的图象大致是()

🔍【思路分析】

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1. 令 $f(x)=2^x-x^2$，$f(x)$ 是连续函数。
2. 求交点：$2^x=x^2$ 的正根为 $x=2$、$x=4$（$x=4$ 时 $2^4=16=4^2$）；还有一个负根 $x\approx -0.77$。
3. $x\to -\infty$：$2^x\to 0$，$x^2\to +\infty$，故 $f(x)\to -\infty$。
4. $x\to +\infty$：$2^x$ 增长远快于 $x^2$，$f(x)\to +\infty$。
5. 在 $(-2,2)$ 内 $f(x)$ 先增后减再增，在 $x=0$ 处 $f(0)=1>0$，$x=1$ 处 $f(1)=1>0$。
6. 综合判断选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=2^x-x^2$. 先看方程 $2^x=x^2$ 的实根：$x=2$ 时 $2^2=4=2^2$；$x=4$ 时 $2^4=16=4^2$； 此外 $x<0$ 时还有一个实根（$x=-1$ 处 $2^{-1}=0.5<1=(-1{)}^2$，$x\to -\infty$ 时 $2^x-x^2\to -\infty$，故存在负根）. 所以 $f(x)$ 与 $x$ 轴有三个交点. 当 $x\to -\infty$ 时，$2^x\to 0$，$-x^2\to -\infty$，故 $f(x)\to -\infty$； 当 $x\to +\infty$ 时，指数函数 $2^x$ 的增长远快于 $x^2$，$f(x)\to +\infty$. 据此图象从左下方上升、跨过 $x$ 轴数次后再向右上方延伸，符合 A 图的大致形态. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数与二次函数图象的比较

核心方法：找 $2^x=x^2$ 的实根个数与无穷远处行为，确定图象形态

避坑指南：$2^x=x^2$ 有 $x=2,4$ 两个正根和一个负根；$x\to +\infty$ 时 $2^x\gg x^2$，图象最终上扬，别画反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数与幂函数的交点个数是图象判断题的经典素材。

结论推广：$2^x$ 与 $x^2$ 在 $x=2,4$ 处相交，$x$ 充分大后指数函数反超，交点个数有限。

方法推广：判断 $a^x$ 与 $x^n$ 图象，抓”交点、无穷远增长、原点附近值”三个特征即可锁定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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