2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球

本题导读

考查外接球。体对角线 $\sqrt{6}a=2R$，$S=4\pi R^2=6\pi a^2$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设长方体的长、宽、高分别为 $2a$、$a$、$a$，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()

A. $3\pi a^2$　　　　　B. $6\pi a^2$　　　　　C. $12\pi a^2$　　　　　D. $24\pi a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 长方体顶点共球 $\Rightarrow$ 体对角线为球的直径。
2. $2R=\sqrt{(2a{)}^2+a^2+a^2}=\sqrt{6}a$。
3. $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{6a^2}{4}=6\pi a^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

长方体的八个顶点都在球面上，体对角线即为球的直径， $2R=\sqrt{(2a{)}^2+a^2+a^2}=\sqrt{6}a,R=\frac{\sqrt{6}}{2}a.$ 球的表面积为 $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{6a^2}{4}=6\pi a^2.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体外接球的表面积

核心方法：体对角线 $=$ 球的直径

避坑指南：表面积公式是 $4\pi R^2$（不是体积 $\frac{4}{3}\pi R^3$）；$R=\frac{\sqrt{6}}{2}a$ 平方后为 $\frac{6a^2}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体（含正方体）顶点共球时，体对角线即球直径，这是外接球问题的第一结论。

结论推广：三度为 $2a,a,a$ 时体对角线平方为 $(4+1+1)a^2=6a^2$。

方法推广：外接球半径只与体对角线有关，与长方体摆放方向无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比