2010-江西卷文-01 单-不等式与充要条件

本题导读

考查充要条件。$c=0$ 时 $a>b$ 推不出 $a{c}^2>b{c}^2$；而 $a{c}^2>b{c}^2\Rightarrow c^2>0\Rightarrow a>b$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 对于实数 $a$，$b$，$c$，"$a>b$"是"$a{c}^2>b{c}^2$"的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判充分：取 $c=0$，$a>b$ 时 $a{c}^2=b{c}^2=0$，推不出 $a{c}^2>b{c}^2$。
2. 判必要：若 $a{c}^2>b{c}^2$，则 $(a-b)c^2>0$，故 $c^2>0$ 且 $a-b>0$，即 $a>b$。
3. 必要不充分。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

充分性：取 $c=0$，此时无论 $a$，$b$ 取何值都有 $a{c}^2=b{c}^2=0$，由 $a>b$ 推不出 $a{c}^2>b{c}^2$，充分性不成立. 必要性：若 $a{c}^2>b{c}^2$，则 $(a-b)c^2>0$. 由 $c^2>0$ 得 $a-b>0$，即 $a>b$，必要性成立. 故"$a>b$"是"$a{c}^2>b{c}^2$"的必要不充分条件，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式性质与充要条件

核心方法：取反例否定充分性，正向推导证必要性

避坑指南：$c=0$ 是本题唯一的”杀手”：$a>b$ 时 $a{c}^2=b{c}^2=0$，严格不等号失效；反向则 $c^2>0$ 保证两边同除不变号，方向别弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含字母系数的不等式与充要条件组合是常考的基本盘。

结论推广：$a{c}^2>b{c}^2⟺a>b$ 且 $c\ne 0$，把”隐含约束”挖出来就是命题判定题的全部。

方法推广：充要条件判定的口诀”小范围推大范围”在这里退化为”加约束推去约束”，本质都是集合包含关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2011-福建卷文-03 单-充分不必要条件
• 2012-湖北卷文-09 单-充要条件与不等式
• 2013-安徽卷文-04 单-充要条件方向