2011-上海卷文-02 填-数列极限

本题导读

本题考查数列的极限。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{3n}{n+3}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：通分后分子分母同除 $n$
2. 步骤2：$\lim \frac{1}{n}=0$

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3n}{n+3}=\frac{3}{1+\frac{3}{n}}\to 3$（$n\to \infty$）。

故原式 $=1-3=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限的四则运算

核心方法：分式极限先同除最高次幂，把无穷小分离出来

避坑指南：$\frac{3n}{n+3}$ 的极限是 $3$ 而不是 $0$；“减去一个正极限”得负值 $-2$，符号要保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限题与 2013-上海卷理-01、2014-上海卷文-10、2013-上海卷文-18 同族。

结论推广：推广：$\lim \frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}$；$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(n)-g(n))$ 可拆为极限之差（各自收敛时）。

方法推广：极限小题：把发散部分同除 $n$ 化为 $\frac{a}{1+\frac{k}{n}}$ 型，再用 $\lim \frac{1}{n}=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算
• 2014-上海卷文-10 填-无穷等比极限
• 2013-上海卷文-18 单-椭圆与极限