2011-北京卷文-20 解-E数列新定义

本题导读

本题考查数列的新定义，以及必要充分条件的证明。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 若数列 $A_n$：$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$（$n⩾2$）满足 $|a_{k+1}-a_k|=1$（$k=1,2,\cdots ,n-1$），则称 $A_n$ 为 $E$ 数列．记 $S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．

(1) 写出一个 $E$ 数列 $A_5$ 满足 $a_1=a_3=0$；

(2) 若 $a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$ 数列 $A_n$ 是递增数列的充要条件是 $a_n=2011$；

(3) 在 $a_1=4$ 的 $E$ 数列 $A_n$ 中，求使得 $S(A_n)=0$ 成立的 $n$ 的最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：E 数列即相邻差绝对值为 $1$
2. 步骤2：(2) 递增 $⟺$ 每步 $+1⟺a_n=a_1+(n-1)$
3. 步骤3：(3) 全降数列使 $S$ 最小
4. 步骤4：估界得 $n⩾9$

✅【答案】

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(1) 如 $(0,1,0,1,0)$

(2) 见解析，递增 $⟺a_n=2011$

(3) $n$ 的最小值为 $9$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 相邻两项差的绝对值为 $1$，取 $A_5=(0,1,0,1,0)$，满足 $a_1=a_3=0$，符合定义。

(2) $E$ 数列每一步为 $+1$ 或 $-1$，共 $n-1=1999$ 步。

必要性：若递增，则每步都取 $+1$，$a_n=a_1+(n-1)=12+1999=2011$。

充分性：若 $a_n=2011=a_1+1999$，即 $n-1$ 步的增量总和为 $+1999$，而每步增量至多为 $1$、共 $1999$ 步，故每步都必须是 $+1$，即数列递增。

所以递增的充要条件是 $a_n=2011$。

(3) $a_1=4$，每步 $+1$ 或 $-1$。第 $k$ 项 $a_k⩾4-(k-1)=5-k$，故

$S(A_n)={\sum }_{k=1}^n{a}_k⩾{\sum }_{k=1}^n(5-k)=4n-\frac{n(n-1)}{2}$（当且仅当每步都取 $-1$，即数列为 $4,3,2,1,0,-1,\cdots$ 时取等）。

要 $S(A_n)=0$，需 $4n-\frac{n(n-1)}{2}⩽0$，因 $n>0$ 得 $8⩽n-1$，即 $n⩾9$。

当 $n=9$ 时，取全降数列 $(4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4)$，$S=4+3+2+1+0-1-2-3-4=0$，满足条件。

故 $n$ 的最小值为 $9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义数列的逐步约束；每步增量的上界估计（放缩求和）；充要条件的双向证明

核心方法：“每步 $\pm 1$“的路径模型：$a_k⩾a_1-(k-1)$ 逐项放缩出 $S$ 的下界，再用构造验证取等

避坑指南：(2) 充分性别漏”每步增量至多为 $1$、步数恰为 $n-1$，总和达到上界则每步都取上界”这一步；(3) 的下界 $4n-\frac{n(n-1)}{2}$ 是”全降”时取得，必须说明取等可由全降数列实现，且 $n=9$ 要回代求和验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义数列压轴是北京卷特色，与 2012-北京卷文-20（数表新定义极值）、2013-北京卷文-20（数列新定义）同族。

结论推广：推广：$a_1=c$ 时 $S(A_n)=0$ 的最小 $n$ 满足 $cn-\frac{n(n-1)}{2}⩽0$；对 $c=4$ 得 $n⩾9$。一般地最小 $n$ 约为 $2c+1$。

方法推广：新定义题：先把定义翻译成”每步 $\pm 1$ 的折线”；(2) 类充要证明抓”总和达到步数上界 ⇒ 每步都取上界”；(3) 类最值先放缩出必要条件，再构造实例验证充分性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-20 解-数表新定义极值
• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义