2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线），以及利用导数研究极值点分布。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+3a{x}^2+(3-6a)x+12a-4(a\in \mathrm{R})$．

(1) 证明：曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线过点 $(2,2)$；

(2) 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值，$x_0\in (1,3)$，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 写出 $x=0$ 处切线方程
2. 步骤2：代 $x=2$ 验证
3. 步骤3：(2) 由 $f^{\prime }(x_0)=0$ 解出 $a$ 关于 $x_0$ 的函数
4. 步骤4：结合 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 与 $x_0\in (1,3)$ 求 $a$ 范围

✅【答案】

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(1) 见解析，切线恒过 $(2,2)$

(2) $a$ 的取值范围为 $\left(-\frac{5}{2},-1-\sqrt{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2+6ax+(3-6a)$，$f(0)=12a-4$，$f^{\prime }(0)=3-6a$。

切线：$y=(12a-4)+(3-6a)x$。代 $x=2$：$y=12a-4+6-12a=2$，故切线恒过 $(2,2)$。

(2) 极小值点需 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)=6(x_0+a)>0$。

$f^{\prime }(x)=3(x^2+2ax+1-2a)$，其有实根需 $a^2+2a-1>0$，即 $a>-1+\sqrt{2}$ 或 $a<-1-\sqrt{2}$；极小值对应较大的根 $x_0=-a+\sqrt{a^2+2a-1}$。

当 $a⩾-1+\sqrt{2}$ 时，若 $x_0>1$ 则 $\sqrt{a^2+2a-1}>1+a$，两边平方得 $-1>1$，矛盾，故此时 $x_0<1$，不合题意。

当 $a<-1-\sqrt{2}$ 时：$x_0<3⟺\sqrt{a^2+2a-1}<3+a$（需 $a>-3$），两边平方得 $a^2+2a-1<a^2+6a+9$，即 $a>-\frac{5}{2}$。

综上 $a\in \left(-\frac{5}{2},-1-\sqrt{2}\right)$。

端点检验：$a=-1-\sqrt{2}$ 时判别式为零，$f^{\prime }$ 为完全平方式，函数单调无极值，舍去；$a=-\frac{5}{2}$ 时 $x_0=3$ 不在开区间 $(1,3)$ 内，舍去。故两端点均不取。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线方程的定点验证；极值点的存在条件（判别式）与位置约束的等价转化

核心方法：“极值点在给定区间”题：把 $a$ 表示为 $x_0$ 的函数再转区间，或把 $x_0$ 用 $a$ 表示后解不等式；两条路都要检查判别式与 $f^{\prime \prime }>0$

避坑指南：$a=-1-\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }$ 是完全平方式，函数单调无极值，端点必须舍去；$a=-\frac{5}{2}$ 时极小值点恰在 $x_0=3$，也不满足开区间；中间过程化简 $a(x)=-\frac{x+1}{2}$ 后别忘记 $a$ 的有效域由判别式限定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值点分布是导数压轴的经典模型，与 2012-大纲卷文-21（三次函数极值点连线）、2012-江苏卷-18（三次函数极值点与零点）同族。

结论推广：推广：一般 $f(x)=x^3+px+q$ 型，极小值点 $x_0=\sqrt{-p/3}$；本题的恒过定点 $(2,2)$ 源于 $f(2)\equiv 2$ 的恒等式设计，可推广为”三次曲线在 $x=t$ 处切线过定点”的构造题。

方法推广：导数大题双问结构：第(1)问常是”送分的恒等验证”；第(2)问把极值点位置约束转化为参数不等式，优先用”主元变换”（把参数写成 $x_0$ 的函数）再用判别式定有效域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-21 解-三次函数极值点连线
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点
• 2012-重庆卷文-17 解-三次函数极值与最值