2011-天津卷理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及合并同类项与指数幂运算。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 在 ${\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 的二项展开式中，$x^2$ 的系数为 ()

A. $-\frac{15}{4}$　　　　　　B. $\frac{15}{4}$　　　　　　C. $-\frac{3}{8}$　　　　　　D. $\frac{3}{8}$

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 将各项的指数合并，令 $x$ 的指数等于 2，解出项数 $r$。
3. 将 $r$ 代入通项系数部分计算最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r{\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)}^{6-r}{\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^r(r=0,1,2,3,4,5,6)$ 化简通项中的变量部分： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-r}(-2{)}^r{x}^{\frac{6-r}{2}}{x}^{-\frac{r}{2}}={\text{C}}_6^r{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-r}(-2{)}^r{x}^{\frac{6-2r}{2}}={\text{C}}_6^r{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-r}(-2{)}^r{x}^{3-r}$ 令 $x$ 的指数等于 2： $3-r=2⟹r=1$ 将 $r=1$ 代入求系数： $T_2={\text{C}}_6^1{\left(\frac{1}{2}\right)}^5(-2{)}^1{x}^2=6\cdot \frac{1}{32}\cdot (-2)x^2=-\frac{12}{32}{x}^2=-\frac{3}{8}{x}^2$ 因此，$x^2$ 的系数为 $-\frac{3}{8}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式定理通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、指数幂化简。
• 核心方法：分离系数与字母部分，通过指数方程解出 $r$。
• 避坑指南：处理负号和分数系数时要格外小心，切勿漏掉底数中的负号 $(-2{)}^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学计数原理章节二项式定理标准题型。
• 结论推广：形如 $(a{x}^m+b{x}^n{)}^p$ 的二项展开式中指定幂次项的系数，均可通过通项合并指数求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式
• 2008-山东卷理-09