2011-山东卷文-03 单-指数求值与正切

本题导读

本题考查指数方程，以及特殊角三角函数值。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 若点 $(a,9)$ 在函数 $y=3^x$ 的图象上，则 $\tan \frac{a\pi }{6}$ 的值为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$3^a=9$ 定 $a=2$
2. 步骤2：再算 $\tan \frac{\pi }{3}$

✅【答案】

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D$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(a,9)$ 在 $y=3^x$ 上：$3^a=9=3^2$，$a=2$。

$\tan \frac{a\pi }{6}=\tan \frac{2\pi }{6}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数式求值；特殊角的正切值

核心方法：同底比对得指数，再代角求三角函数值

避坑指南：$\frac{a\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ 而非 $\frac{\pi }{6}$；$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$、$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 二者勿混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数与三角求值题与 2012-安徽卷文-03、2012-大纲卷文-03、2011-新课标卷文-07 同族。

结论推广：推广：点 $(x_0,y_0)$ 在 $y=a^x$ 上 $⟺a^{x_0}=y_0$；指数定参后接任意三角求值。

方法推广：求值小题：分两步走——先解出参数，再代入目标函数；特殊角值直接背。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-03 单-对数换底求值
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦