2011-山东卷文-12 单-调和分割新定义

本题导读

本题考查向量共线的坐标表示，以及新定义运算。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 设 $A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{A_1{A}_3}=\lambda \overrightarrow{A_1{A}_2}$（$\lambda \in \mathrm{R}$），$\overrightarrow{A_1{A}_4}=\mu \overrightarrow{A_1{A}_2}$（$\mu \in \mathrm{R}$），且 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$，则称 $A_3$，$A_4$ 调和分割 $A_1$，$A_2$.已知点 $C(c,0)$，$D(d,0)$（$c,d\in \mathrm{R}$）调和分割点 $A(0,0)$，$B(1,0)$，则下面说法正确的是 ()

A. $C$ 可能是线段 $AB$ 的中点

B. $D$ 可能是线段 $AB$ 的中点

C. $C$，$D$ 可能同时在线段 $AB$ 上

D. $C$，$D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由定义把 $C,D$ 调和分割 $A,B$ 翻译为 $\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$
2. 步骤2：即 $(2c-1)(2d-1)=1$
3. 步骤3：逐项检验

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由定义，$\overrightarrow{AC}=c\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=d\overrightarrow{AB}$，且 $c,d\ne 0$（否则四点不两两不同），条件为 $\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$，即 $c+d=2cd$，整理得

$(2c-1)(2d-1)=1$。

（A）若 $C$ 是 $AB$ 中点，$c=\frac{1}{2}$，代入得 $\frac{1}{2}+d=d$，矛盾；同理（B）不成立。

（C）若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 上，则 $0<c<1$，$0<d<1$。当 $0<c<\frac{1}{2}$ 时 $2c-1<0$，由 $d=\frac{c}{2c-1}$ 得 $d<0$；当 $\frac{1}{2}<c<1$ 时 $0<2c-1<c$，得 $d=\frac{c}{2c-1}>1$。均不可能。

（D）若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $c>1$，$d>1$，此时 $2c-1>1$，$2d-1>1$，$(2c-1)(2d-1)>1$，与左式恒为 $1$ 矛盾。故 $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共线向量的数乘表示；新定义下的代数转化

核心方法：新定义题先把定义翻译成坐标（参数）方程，再化为便于判定的等价形式（如 $(2c-1)(2d-1)=1$）逐项检验

避坑指南：定义中隐含 $\lambda ,\mu \ne 0$（否则四点不两两不同且分式无意义）；由 $c+d=2cd$ 得 $d=\frac{c}{2c-1}$，讨论时须按 $c$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小分段，漏段会误判（C）成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量新定义题与 2012-广东卷文-10、2011-北京卷文-20、2013-山东卷文-16 同族。

结论推广：推广：$\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$ 型”调和分割”中，两分点必位于线段两侧（一内一外或双外），不能同内、不能是中点——这与调和点列 $(2c-1)(2d-1)=1$ 的符号结构一致。

方法推广：新定义小题：读定义 → 列参数方程 → 等价变形 → 逐项构造或反例；恒等式 $(2c-1)(2d-1)=1$ 是本题的”总开关”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-10 单-向量新定义
• 2011-北京卷文-20 解-E数列新定义
• 2011-北京卷文-11 填-向量共线求参