2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间

本题导读

本题考查对数型复合函数的单调区间，以及对数函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 函数 $f(x)={\log }_5(2x+1)$ 的单调增区间是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先由真数大于 $0$ 求定义域
2. 步骤2：再用”同增异减”判定

✅【答案】

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$\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

由真数大于 $0$，得 $2x+1>0$，解得 $x>-\frac{1}{2}$，所以函数的定义域为 $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$。

设 $u=2x+1$，当 $x\in \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$ 时 $u(x)$ 单调递增；又底数 $5>1$，外层函数 $y={\log }_{5}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

由复合函数单调性”同增异减”法则，$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的定义域；复合函数单调性的”同增异减”判定

核心方法：定义域优先，先解真数不等式，再判定内外层单调性是否同向

避坑指南：漏掉 $2x+1>0$ 会错写为 $\mathbf{R}$；端点 $-\frac{1}{2}$ 处函数无定义，区间必须写成开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型复合函数单调区间题，与 2012 年江苏卷第 5 题（定义域）同族。

结论推广：形如 $y={\log }_a(kx+b)$（$a>1$，$k>0$）的单调增区间恒为其定义域 $\left(-\frac{b}{k},+\infty \right)$。

方法推广：对数复合函数单调区间题按三步走：求定义域 → 判内外层单调性 → 同向为增、异向为减，区间端点按定义域开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-05 填-对数函数定义域