2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直

本题导读

本题考查翻折问题，以及棱锥体积的最值。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle B=\frac{\pi }{2}$，$AB=BC=2$.$P$ 为 $AB$ 边上动点，$PD\parallel BC$ 交 $AC$ 于点 $D$，现将 $△PDA$ 沿 $PD$ 翻折至 $△PD{A}^{\prime }$，使平面 $PD{A}^{\prime }\perp$ 平面 $PBCD$.

(1)当棱锥 $A^{\prime }-PBCD$ 的体积最大时，求 $PA$ 的长；

(2)若点 $P$ 为 $AB$ 的中点，$E$ 为 $A^{\prime }C$ 的中点，求证：$A^{\prime }B\perp DE$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设 $AP=t$
2. 步骤2：$V(t)=\frac{1}{3}\left(2-\frac{t^2}{2}\right)t$ 求最值
3. 步骤3：（2）建系（$B$ 为原点
4. 步骤4：$BC$

✅【答案】

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(1) $PA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $AP=t$（$0<t<2$）。$PD\parallel BC$，$△APD\sim △ABC$，相似比 $\frac{t}{2}$，故 $PD=t$，$AD=\sqrt{2}t$，$S_{△APD}=\frac{1}{2}{t}^2$。

$S_{PBCD}=S_{△ABC}-S_{△APD}=\frac{1}{2}\times 2\times 2-\frac{1}{2}{t}^2=2-\frac{t^2}{2}$。

$PD\perp AB$（$PD\parallel BC$，$BC\perp AB$），故 $A^{\prime }P\perp PD$，且 $|A^{\prime }P|=|AP|=t$。平面 $PD{A}^{\prime }\perp$ 平面 $PBCD$ 交线为 $PD$，$A^{\prime }P\perp PD$，$A^{\prime }P\subset$ 平面 $PD{A}^{\prime }$，故 $A^{\prime }P\perp$ 平面 $PBCD$，高 $h=t$。

$V(t)=\frac{1}{3}\left(2-\frac{t^2}{2}\right)t=\frac{2t}{3}-\frac{t^3}{6}$。

$V^{\prime }(t)=\frac{2}{3}-\frac{t^2}{2}=0$，$t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（舍负）。$0<t<\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时增，其后减，故体积最大时 $PA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

（2）$P$ 为 $AB$ 中点，$t=1$。以 $B$ 为原点、$BA$ 为 $x$ 轴、$BC$ 为 $y$ 轴、翻折后 $A^{\prime }P$ 方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系：$B=(0,0,0)$，$A=(2,0,0)$，$C=(0,2,0)$，$P=(1,0,0)$，$D=(1,1,0)$。

由（1）$A^{\prime }P\perp$ 平面 $PBCD$ 且 $|A^{\prime }P|=|AP|=1$，$A$ 在 $P$ 的 $+x$ 侧，翻折后 $A^{\prime }=(1,0,1)$。

$E$ 为 $A^{\prime }C$ 中点：$E=\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)$。

$\overrightarrow{A^{\prime }B}=B-A^{\prime }=(-1,0,-1)$；$\overrightarrow{DE}=E-D=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$。

$\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{DE}=(-1)\times \left(-\frac{1}{2}\right)+0+(-1)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。

故 $A^{\prime }B\perp DE$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折中的不变量（$|A^{\prime }P|=|AP|$、$A^{\prime }P\perp PD$）；面面垂直推出线面垂直；导数求体积最值；空间坐标证垂直

核心方法：体积 = $\frac{1}{3}{S}_{PBCD}\cdot h$，两个因子都写成 $t$ 的函数；第二问抓住”翻折后 $A^{\prime }P$ 恰为垂线段”建系，全部坐标一次写出

避坑指南：翻折不变量是 $A^{\prime }P\perp PD$ 与 $|A^{\prime }P|=|AP|$——垂直关系加上面面垂直才推出 $A^{\prime }P\perp$ 平面 $PBCD$（高恰好等于 $AP$），漏掉垂直链条会把高写成别的值；$A^{\prime }$ 的坐标 $z=1$ 依赖 $AP=1$ 与翻折角 $90^{\circ }$（面面垂直给定），两问条件不同别混用；$S_{PBCD}=2-\frac{t^2}{2}$ 是”大三角形减小三角形”，别写成梯形公式硬套。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：翻折棱锥题与 2011-陕西卷文-16、2012-江西卷文-19、2013-广东卷文-18 同族。

结论推广：推广：沿”垂直于一边的线”翻折直角三角形，翻折后侧棱 $A^{\prime }P$ 自动垂直于折线与底面（面面垂直给定翻折角 $90^{\circ }$），高 = 原线段长——这类翻折的坐标法可以省去所有法向量计算；体积最值函数常是 $t(a-\frac{t^2}{2})$ 型，驻点 $t=\sqrt{\frac{2a}{3}}$。

方法推广：翻折大题：先列翻折不变量（等长、垂直），再定高的表达式；第二问优先建系，把证明题变成点积计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-16 解-折叠三棱锥垂直表面积
• 2012-江西卷文-19 解-折叠多面体垂直与体积
• 2013-广东卷文-18 解-翻折三棱锥