2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的共同焦点性质，以及直线与圆的相交弦长问题。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与双曲线 $C_2:x^2-\frac{y^2}{4}=1$ 有公共的焦点，$C_2$ 的一条渐近线与以 $C_1$ 的长轴为直径的圆相交于 $A,B$ 两点. 若 $C_1$ 恰好将线段 $AB$ 三等分，则 ()

A. $a^2=\frac{13}{2}$　　　B. $a^2=13$　　　C. $b^2=\frac{1}{2}$　　　D. $b^2=2$

🔍【思路分析】

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1. 由双曲线 $C_2:x^2-\frac{y^2}{4}=1$ 求出焦距 $c=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，从而椭圆 $C_1$ 的半焦距也为 $\sqrt{5}$，满足 $a^2-b^2=5$。
2. 双曲线的一条渐近线方程为 $y=2x$。以 $C_1$ 的长轴（长度为 $2a$）为直径的圆方程为 $x^2+y^2=a^2$。
3. 直线 $y=2x$ 与圆 $x^2+y^2=a^2$ 相交所得弦 $AB$ 是圆的直径吗？因为直线过原点，所以弦 $AB$ 是直径，长度为 $2a$。
4. 椭圆 $C_1$ 与直线 $y=2x$ 的交点恰好将线段 $AB$ 三等分，结合对称性可知交点到原点的距离为 $\frac{1}{3}a$。
5. 将直线方程代入椭圆方程，联立求解交点坐标，建立关于 $a,b$ 的方程并解出 $b^2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线 $C_2:x^2-\frac{y^2}{4}=1$，可得其半焦距 $c=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。 因为椭圆 $C_1$ 与双曲线 $C_2$ 有公共焦点，所以椭圆的半焦距 $c=\sqrt{5}$，即 $a^2-b^2=5$。 $C_2$ 的一条渐近线方程为 $y=2x$。以 $C_1$ 的长轴为直径的圆方程为 $x^2+y^2=a^2$。 直线 $y=2x$ 过圆心，故弦 $AB$ 为圆的直径，长度 $|AB|=2a$。 因为椭圆 $C_1$ 恰好将线段 $AB$ 三等分，所以椭圆与直线 $y=2x$ 在第一象限的交点到原点的距离为 $\frac{1}{3}a$。 设交点坐标为 $(x_0,y_0)$，则 $y_0=2x_0$，且 $x_0^2+y_0^2=5x_0^2={\left(\frac{1}{3}a\right)}^2=\frac{a^2}{9}$，即 $x_0^2=\frac{a^2}{45}$。 将 $y=2x$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，得： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{4x^2}{b^2}=1⟹x^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}\right)=1⟹x_0^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2+4a^2}$ 代入 $a^2=b^2+5$ 及 $x_0^2=\frac{a^2}{45}$ 联立： $\frac{b^2(b^2+5)}{5(b^2+4)}=\frac{b^2+5}{45}⟹\frac{b^2}{5(b^2+4)}=\frac{1}{45}⟹45b^2=5b^2+20⟹40b^2=20⟹b^2=\frac{1}{2}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线共同焦点、渐近线性质、弦的中点与三等分点坐标计算。
• 核心方法：数形结合法与代数方程联立消元法。
• 避坑指南：切勿将渐近线与圆的交点误算为一般弦，利用过原点的直线交圆所得弦即为直径简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考解析几何中椭圆与双曲线综合几何性质的标准压轴小题。
• 结论推广：若直线截圆锥曲线所得弦被特定比例分点分割，可直接利用参数方程或直角坐标代入求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理