2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，且 ${\sin }^2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{1}{4}$，则 $\tan \alpha$ 的值等于 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 代入解出 ${\sin }^2\alpha$
2. 步骤2：再求 $\tan \alpha$

✅【答案】

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D$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$：

${\sin }^2\alpha +\cos 2\alpha ={\sin }^2\alpha +1-2{\sin }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$。

故 ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$。由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 得 $\cos \alpha =\frac{1}{2}$，从而 $\alpha =\frac{\pi }{3}$，$\tan \alpha =\sqrt{3}$。选 D。

另法：${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{3}{4}$，${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=3$，$\alpha$ 为锐角，故 $\tan \alpha =\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角余弦公式；平方关系的整体运用

核心方法：把 ${\sin }^2\alpha +\cos 2\alpha$ 化为 ${\cos }^2\alpha$（一步合并），解出 $\cos \alpha$

避坑指南：式子 ${\sin }^2\alpha +\cos 2\alpha$ 恰好等于 ${\cos }^2\alpha$，无须分别求 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$；由平方关系只能得 ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$，$\alpha$ 的范围（锐角）用于定正负——若漏掉范围会误认为 $\pm \frac{1}{2}$ 都可行。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角与二倍角求值题与 2012-江西卷文-04、2011-新课标卷文-07、2013-江西卷文-03 同族。

结论推广：推广：${\sin }^2\alpha +\cos 2\alpha \equiv {\cos }^2\alpha$，${\cos }^2\alpha +\cos 2\alpha \equiv 2{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 等恒等式可作为口算工具。

方法推广：三角求值：见 ${\sin }^2+\cos 2$ 组合先降幂合并，能整体化简就不拆开算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-04 单-同角关系与二倍角正切
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值