2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及弦的垂直平分线。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知圆 $C$ 经过 $A(5,1)$，$B(1,3)$ 两点，圆心在 $x$ 轴上，则 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：圆心 $(a,0)$ 到 $A$
2. 步骤2：$B$ 距离相等列方程

✅【答案】

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$(x-2{)}^2+y^2=10$

✍【详细解析】

Abstract

圆心在 $x$ 轴上，设圆心 $C(a,0)$，半径 $r$。

由 $|CA|=|CB|$：$(5-a{)}^2+1^2=(1-a{)}^2+3^2$。

展开：$25-10a+a^2+1=1-2a+a^2+9$，即 $26-10a=10-2a$，解得 $a=2$。

$r^2=(5-2{)}^2+1^2=10$。

故圆 $C$ 的方程为 $(x-2{)}^2+y^2=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程；弦的两端点到圆心等距

核心方法：设圆心 $(a,0)$，用”到两点等距”一个方程定 $a$，再回代求 $r^2$

避坑指南：圆心纵坐标为 $0$ 是本题的设题点，设成一般 $(a,b)$ 会多一个未知数；求出 $a$ 后 $r^2$ 用哪一点代都行（$25+1$ 与 $1+9$ 相同），但别把 $r$ 与 $r^2$ 混写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的方程题与 2013-新课标II卷文-20、2011-新课标卷文-20 同族。

结论推广：推广：圆心在坐标轴上的圆，“过两点”条件给出一个一元方程；一般地，弦的垂直平分线过圆心，$AB$ 中垂线与 $x$ 轴的交点即圆心，几何法与代数法等价。

方法推广：求圆方程：优先用”设圆心 + 等距”或”中垂线交点”，比待定系数三个未知数快得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹
• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件