2011-重庆卷文-18 解-三角化简平移最值

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos (\pi +x)\cos x$（$x\in \mathbf{R}$）.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)若函数 $y=f(x)$ 的图象按 $b=\left(\frac{\pi }{4},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 平移后得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $y=g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：化简得 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 步骤2：周期 $\pi$
3. 步骤3：平移后 $g(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\sqrt{3}$
4. 步骤4：在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处取最大值 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✅【答案】

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(1) 最小正周期为 $\pi$

(2) 最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos (\pi +x)\cos x=\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x$ $=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}(1+\cos 2x)}{2}=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 （2）将 $y=f(x)$ 的图象按 $b=\left(\frac{\pi }{4},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 平移，得 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\sqrt{3}$。 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 时，$2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$， 正弦在此区间上单调递增，故当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$，即 $x=\frac{\pi }{4}$ 时， $g(x)$ 取最大值 $\sin \frac{\pi }{3}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式 $\cos (\pi +x)=-\cos x$；降幂公式；辅助角公式；图象平移法则「左加右减、上加下减」；闭区间最值。

核心方法：化简成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ → 读周期 → 平移代入 → 子区间单调性定最值。

避坑指南：按 $b$ 平移是「$x$ 减 $\frac{\pi }{4}$、$y$ 加 $\frac{\sqrt{3}}{2}$」，方向搞反会得 $2x+\frac{5\pi }{6}$ 型错误；此外 ${\cos }^{2}x$ 降幂时勿丢常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，它使 $g$ 的值域整体上移。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「恒等变换 + 平移 + 区间最值」是三角解答题的标配链条，2012 天津文 07、北京文 15 与本题各取一环。

结论推广：平移向量 $b=({\phi }_0,y_0)$ 对应 $g(x)=f(x-{\phi }_0)+y_0$；若改为先平移后变换，复合顺序不同结果不同，需按题面顺序执行。

方法推广：化简目标一律是 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 标准形；平移题先把 $f$ 化到最简再平移，最后在新函数上找单调区间求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移
• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调