2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦长公式。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 直线 $y=x$ 被圆 $x^2+(y-2{)}^2=4$ 截得的弦长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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圆心 $(0,2)$ 到 $y=x$ 的距离 $\sqrt{2}$，弦长 $2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $(0,2)$，半径 $r=2$。圆心到直线 $x-y=0$ 的距离 $d=\frac{|0-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离；圆的弦长公式

核心方法：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$（垂径定理）

避坑指南：圆心是 $(0,2)$ 而非 $(2,0)$——圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 的圆心为 $(a,b)$，别读反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线被圆截弦入口题，与 2013 年安徽卷文第 6 题、2014 年江苏卷第 9 题同族。

结论推广：一般地，弦长 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$；$d=r$ 时相切弦长为 $0$，$d=0$ 时为直径。

方法推广：弦长问题固定两步：圆心距 $d$ → 勾股定半径、半弦长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题