2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)={\cos }^2\frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\frac{1}{2}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期和值域；

(2)若 $f(\alpha )=\frac{3\sqrt{2}}{10}$，求 $\sin 2\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

降幂并辅助角得 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，故周期 $2\pi$、值域 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$；由 $\cos \alpha -\sin \alpha =\frac{3\sqrt{2}}{5}$ 平方得 $\sin 2\alpha =\frac{7}{25}$。

✅【答案】

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(1)最小正周期 $2\pi$，值域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$；(2)$\sin 2\alpha =\frac{7}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由降幂公式与二倍角公式：

$f(x)=\frac{1+\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\cos x-\sin x}{2}$。

再由辅助角公式：

$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。

所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$，值域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。

（2）由 $f(\alpha )=\frac{3\sqrt{2}}{10}$ 得 $\frac{\cos \alpha -\sin \alpha }{2}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$，

即 $\cos \alpha -\sin \alpha =\frac{3\sqrt{2}}{5}$。

两边平方：${\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\sin }^2\alpha =\frac{18}{25}$，即 $1-\sin 2\alpha =\frac{18}{25}$。

所以 $\sin 2\alpha =1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式（降幂、升角）；辅助角公式；同角三角函数的基本关系

核心方法：“平方 + 降幂”是处理 $\sin \pm \cos$ 型条件的标准动作，一次平方就把一次式化为 $\sin 2\alpha$

避坑指南：${\cos }^2\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$ 等于 $\frac{\cos x}{2}$（因为 ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$），把 $-\frac{1}{2}$ 直接当常数漏掉配对是常见错误；$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{2}$，不要写成 $\sin x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与三角函数性质综合题，与 2013 年四川卷文第 14 题、2013 年江西卷文第 3 题同族。

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，值域为 $\left[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}\right]$；${\left(\sin \alpha \pm \cos \alpha \right)}^2=1\pm \sin 2\alpha$ 是求 $\sin 2\alpha$ 的桥梁。

方法推广：看到 ${\sin }^2$、$\sin \cos$ 的二次齐次式一律降幂；看到 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 的函数值一律平方求 $\sin 2\alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号